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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix des Differentialgleichungssystems y'=Ay
[mm] A:=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 } [/mm] |
Ich weiß leider ab dem Punkt nicht mehr weiter, wo man die Eigenvektoren aufstellt. Habe schon zig Beispiele gesehen, jedoch wird mir nicht klar, weshalb man ausgerechnet die Eigenvektoren aussucht. Deshalb versuche ich es jetzt hier. Hier meine Rechenschritte :
[mm] C_{f}(\lambda)=det(A-\lambdaI)
[/mm]
Wenn ich mit Laplace nach der zweiten Spalte entwickele erhalte ich : [mm] C_{f}(\lambda)=-\lambda*(2-\lambda)^{2}
[/mm]
Damit erhalte ich die Eigenwerte [mm] \lambda=2 [/mm] und [mm] \lambda=0, [/mm] wobei 2 ein doppelter Eigenwert ist ( Vielfachheit 2).
( ab hier bin ich mir unsicher! )
Löse folgendes Gleichungssystem :
[mm] (A-2I)*v=\vec{0}
[/mm]
Wenn ich nun einsetze und auflösen möchte habe ich in der ersten Spalte eine Nullzeile. Was muss ich tun?
Hoffe ich könnt mir helfen.
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Hallo alfonso2020,
> Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix des
> Differentialgleichungssystems y'=Ay
>
> [mm]A:=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm]
> Ich weiß
> leider ab dem Punkt nicht mehr weiter, wo man die
> Eigenvektoren aufstellt. Habe schon zig Beispiele gesehen,
> jedoch wird mir nicht klar, weshalb man ausgerechnet die
> Eigenvektoren aussucht. Deshalb versuche ich es jetzt hier.
> Hier meine Rechenschritte :
>
> [mm]C_{f}(\lambda)=det(A-\lambdaI)[/mm]
>
> Wenn ich mit Laplace nach der zweiten Spalte entwickele
> erhalte ich : [mm]C_{f}(\lambda)=-\lambda*(2-\lambda)^{2}[/mm]
>
> Damit erhalte ich die Eigenwerte [mm]\lambda=2[/mm] und [mm]\lambda=0,[/mm]
> wobei 2 ein doppelter Eigenwert ist ( Vielfachheit 2).
>
> ( ab hier bin ich mir unsicher! )
>
> Löse folgendes Gleichungssystem :
>
> [mm](A-2I)*v=\vec{0}[/mm]
>
> Wenn ich nun einsetze und auflösen möchte habe ich in der
> ersten Spalte eine Nullzeile. Was muss ich tun?
>
Das heisst, Du kannst eine Variable frei wählen.
Diese ergibt sich in der Regel aus dem Lösen
der beiden anderen Gleichungen.
> Hoffe ich könnt mir helfen.
Gruss
MathePower
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Ich hätte nun :
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0& 0 } [/mm]
Ich würde dann [mm] \lambda_{3}=1 [/mm] setzen. Und nu' ?
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Ok habe jetzt verstanden was du gemeint hast.
ich habe nun [mm] v_{z}=1 [/mm] gesetzt und somit den Vektor [mm] v_{1}=\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] (mit [mm] \alpha\not=0) [/mm] erhalten. Jedoch genügt dieser Vektor nicht, da [mm] \lambda=2 [/mm] ein doppelter Eigenwert ist und ich somit noch ein Vektor brauche. Wie komme ich an diesen?
Edit : Habe vorerst für den Eigenwert 0 ebenfalls den Eigenvektor berechnet und erhalte [mm] v_{3}=\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , mit [mm] \alpha\not=0
[/mm]
Nun fehlt noch der zweite Vektor für den Eigenwert 2. Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob es einen weiteren Eigenvektor für den Eigenwert 2 gibt. In der Übung hatte der Übungsleiter den Ansatz für eine ähnliche Aufgabe mit [mm] y(x)=e^{2x}*w, [/mm] wobei [mm] w\in R^{3} [/mm] zunächst zwei Vektoren für den Eigenwert 2 mit Vielfachheit 3 und mit einem weiteren Ansatz einen weiteren Eigenvektor ermitteln. Der zweite Ansatz war [mm] y=(u+xc)e^{2x} [/mm] für [mm] v\not\in 0\in R^{3} [/mm] und u,v [mm] \in R^{3}. [/mm] Evtl. bringt euch dieser Ansatz weiter.
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Hallo alfonso2020,
> Ok habe jetzt verstanden was du gemeint hast.
>
> ich habe nun [mm]v_{z}=1[/mm] gesetzt und somit den Vektor
> [mm]v_{1}=\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] (mit [mm]\alpha\not=0)[/mm]
> erhalten. Jedoch genügt dieser Vektor nicht, da [mm]\lambda=2[/mm]
> ein doppelter Eigenwert ist und ich somit noch ein Vektor
> brauche. Wie komme ich an diesen?
>
> Edit : Habe vorerst für den Eigenwert 0 ebenfalls den
> Eigenvektor berechnet und erhalte [mm]v_{3}=\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , mit [mm]\alpha\not=0[/mm]
>
> Nun fehlt noch der zweite Vektor für den Eigenwert 2.
> Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
>
> Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob es einen weiteren
> Eigenvektor für den Eigenwert 2 gibt. In der Übung hatte
> der Übungsleiter den Ansatz für eine ähnliche Aufgabe
> mit [mm]y(x)=e^{2x}*w,[/mm] wobei [mm]w\in R^{3}[/mm] zunächst zwei Vektoren
> für den Eigenwert 2 mit Vielfachheit 3 und mit einem
> weiteren Ansatz einen weiteren Eigenvektor ermitteln. Der
> zweite Ansatz war [mm]y=(u+xc)e^{2x}[/mm] für [mm]v\not\in 0\in R^{3}[/mm]
> und u,v [mm]\in R^{3}.[/mm] Evtl. bringt euch dieser Ansatz weiter.
Dieser Ansatz führt Dich dann auf die Bestimmung der unbekannten Vektoren.
Setze diesen Ansatz in das gegebene DGL-System ein,
führe einen Koeffizientenvergleich durch, und Du erhältst
dann Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Vektoren.
Es gibt nur einen Eigenvektor zum Eigenwert 2,
da der Rang von [mm]\left(A-2I\right)[/mm] gleich 2 ist.
Demnach benötigst Du noch einen Vektor.
Dazu berechne den Kern von [mm]\left(A-2I\right)^{2}[/mm].
Wähle daraus dann einen Vektor,
der nicht im Kern von [mm]\left(A-2I\right)[/mm] liegt.
Gruss
MathePower
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Gilt der Ansatz für jeden Eigenwert, wenn ich nicht genügend Eigenvektoren habe ?
Sprich : [mm] (u+xv)e^{\lambda x)} [/mm] , mit [mm] \lambda \hat= [/mm] Eigenwert
Habe nun [mm] (A-2\lambda)^{2} [/mm] berechnet und folgende Matrix erhalten :
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
ich habe [mm] v_{2}=v{3} [/mm] erhalten.
Somit wäre ja mein Kern [mm] v=span\{\vektor{0 \\ 1 \\ 1}} [/mm]
Jedoch könnte ich auch [mm] v=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}} [/mm] nehmen, da ich den noch nicht hab oder?
Was ist mit dem Koeffizientenvergleich? Habe den Vorgang dafür noch nicht ganz verstanden, könnten wir das evtl. zusammen probieren?
Und ist der Rest soweit in Ordnung?
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Hallo alfonso2020,
> Gilt der Ansatz für jeden Eigenwert, wenn ich nicht
> genügend Eigenvektoren habe ?
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Der Ansatz gilt nur, wenn Du keine zweite
linear unabhängige Lösung finden kannst,
sprich keinen zweiten Eigenvektor.
> Sprich : [mm](u+xv)e^{\lambda x)}[/mm] , mit [mm]\lambda \hat=[/mm]
> Eigenwert
>
> Habe nun [mm](A-2\lambda)^{2}[/mm] berechnet und folgende Matrix
> erhalten :
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> ich habe [mm]v_{2}=v{3}[/mm] erhalten.
>
> Somit wäre ja mein Kern [mm]v=span\{\vektor{0 \\ 1 \\ 1}}[/mm]
>
> Jedoch könnte ich auch [mm]v=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
> nehmen, da ich den noch nicht hab oder?
>
Klar, der Kern besteht aus den Vielfachen dieser zwei Vektoren.
Wähle nun einen Vektor aus diesem Kern, der nicht im Kern
von [mm]\left(A-2I\right)[/mm] liegt.
> Was ist mit dem Koeffizientenvergleich? Habe den Vorgang
> dafür noch nicht ganz verstanden, könnten wir das evtl.
> zusammen probieren?
>
Der Ansatz [mm]y=\left(u+cx\right) e^{2x}[/mm] ist in
[mm]y'=Ay [/mm]
einzusetzen.
> Und ist der Rest soweit in Ordnung?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo alfonso2020,
> Ich hätte nun :
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> [mm]=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0& 0 }[/mm]
>
> Ich würde dann [mm]\lambda_{3}=1[/mm] setzen. Und nu' ?
>
Ich nehme an, die Spalten stehen für die Variablen [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3[/mm]
Ok, das kannst Du so machen, dann erhältst Du nur eine Lösung.
Gruss
MathePower
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