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| Aufgabe | Sei T: V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus des endlich-dimensionalen [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] V (d.h. es existiert ein k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit [mm] T^{k}=0).
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von T ist.
(ii) Zeigen Sie, dass der Endomorphismus [mm] (id_{v} [/mm] - T) invertierbar ist. |
Hallo liebes Matheforum.net,
ich bräuchte bei obiger Aufgabe erneut eure Hilfe.
Aufgabenteil (i) habe ich so gelöst:
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von T, d.h. [mm] \exists [/mm] v [mm] \varepsilon [/mm] V, [mm] v\not=0: (T(v)=\lambda*v)
[/mm]
Wir haben einen nilpotenten Endomorphismus vorliegen; d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit [mm] T^{k}=0
[/mm]
Nutze diese Bedingung aus:
[mm] (T(v))^{k}=(\lambda*v)^{k}=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \vee v^k=0
[/mm]
Da [mm] v\not=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \Rightarrow \lambda=0 \Rightarrow [/mm] 0 ist einziger Eigentwert von T.
Könntet ihr mir sagen. ob diese Beweisführung so schlüssig und richitg?
zu (ii): Ich möchte dies zeigen, indem ich zeige, dass T bijektiv ist. Allerdings muss ich hier zunächst wisssen, wie meine [mm] (id_{v} [/mm] - T) Abbildung aussieht. Und das weiß ich leider nicht. Wie habe ich hier meine Abbildung, wenn ich nicht weiß, wie T aussieht?
Ich habe einmal [mm] id_{v}=v, [/mm] also v=v; T ist ein Endomorphismus, sieht eigentlich doch genauso aus oder? Und wenn ich das subtrahiere, bekomme ich keine wirklich hilfreiche Abbildung. Deswegen meine Frage: Wo ist hier mein Denkfehler?
MFG
rubstudent88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei T: V [mm]\to[/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus des
> endlich-dimensionalen [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] V (d.h. es existiert
> ein k [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit [mm]T^{k}=0).[/mm]
> (i) Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von T ist.
> (ii) Zeigen Sie, dass der Endomorphismus [mm](id_{v}[/mm] - T)
> invertierbar ist.
> Hallo liebes Matheforum.net,
>
> ich bräuchte bei obiger Aufgabe erneut eure Hilfe.
>
> Aufgabenteil (i) habe ich so gelöst:
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von T, d.h. [mm]\exists[/mm] v [mm]\varepsilon[/mm] V,
> [mm]v\not=0: (T(v)=\lambda*v)[/mm]
> Wir haben einen nilpotenten
> Endomorphismus vorliegen; d.h. [mm]\exists[/mm] k [mm]\varepsilon \IN[/mm]
> mit [mm]T^{k}=0[/mm]
>
> Nutze diese Bedingung aus:
>
> [mm](T(v))^{k}=(\lambda*v)^{k}=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \vee v^k=0[/mm]
Das ist doch völliger Blödsinn ! Du potenzierst Vektoren ?!
$Tv = [mm] \lambda [/mm] v$, also ist
$0 = T^kv = [mm] \lambda^k [/mm] v$
Somit ist [mm] \lambda [/mm] = 0.
>
> Da [mm]v\not=0 \Rightarrow (\lambda)^{k}=0 \Rightarrow \lambda=0 \Rightarrow[/mm]
> 0 ist einziger Eigentwert von T.
>
> Könntet ihr mir sagen. ob diese Beweisführung so schlüssig
> und richitg?
>
> zu (ii): Ich möchte dies zeigen, indem ich zeige, dass T
> bijektiv ist. Allerdings muss ich hier zunächst wisssen,
> wie meine [mm](id_{v}[/mm] - T) Abbildung aussieht. Und das weiß ich
> leider nicht. Wie habe ich hier meine Abbildung, wenn ich
> nicht weiß, wie T aussieht?
> Ich habe einmal [mm]id_{v}=v,[/mm] also v=v; T ist ein
> Endomorphismus, sieht eigentlich doch genauso aus oder? Und
> wenn ich das subtrahiere, bekomme ich keine wirklich
> hilfreiche Abbildung. Deswegen meine Frage: Wo ist hier
> mein Denkfehler?
Das weiß ich nicht
Aber folgendes habt Ihr sicher gelernt:
$ [mm] \lambda id_{v} [/mm] - T$ ist invertierbar [mm] \gdw \lambda [/mm] ist kein Eigenwert von T
Hilft das ?
FRED
>
> MFG
>
> rubstudent88
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