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| Aufgabe | Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei [mm] \lambda \in \IK. [/mm] Ist A diagonalisierbar?
[mm] A=\pmat{ \lambda & 1&& \\ &\lambda&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda}
[/mm]
wo nichts steht ist eine 0 |
s..Eigenwert
Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme ich einen belieben wert k an?
0= det(A-s*I) [mm] =\pmat{ \lambda -s & 1&& \\ &\lambda-s&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda-s} [/mm] = [mm] (\lambda-s)^k
[/mm]
[mm] 0=\lambda [/mm] - s
s= [mm] \lambda [/mm]
STimmt das?
Eigenraum [mm] \lambda [/mm] = [mm] ker(A-\lambda I_k [/mm] ) = [mm] ker\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&0}
[/mm]
der Kern wird aufgespannt vom vektor [mm] <\pmat{0\\0\\\vdots\\0\\1}>
[/mm]
Da bin ich mir unsicher..
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> Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei
> [mm]\lambda \in \IK.[/mm] Ist A diagonalisierbar?
> [mm]A=\pmat{ \lambda & 1&& \\
&\lambda&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&\lambda}[/mm]
>
> wo nichts steht ist eine 0
> s..Eigenwert
> Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme
> ich einen belieben wert k an?
> 0= det(A-s*I) [mm]=\blue{\operatorname{det}(}\pmat{ \lambda -s & 1&& \\
&\lambda-s&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&\lambda-s}\blue{)}[/mm]
> = [mm](\lambda-s)^k[/mm]
>
> [mm]0=\lambda[/mm] - s
> s= [mm]\lambda[/mm]
> STimmt das?
Die Eigenwerte sind schon die [mm] $\lambda$'s. [/mm] Kann man ja direkt ablesen.
>
> Eigenraum [mm]\lambda[/mm] = [mm]ker(A-\lambda I_k[/mm] ) = [mm]ker\pmat{ 0 & 1&& \\
&0&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&0}[/mm]
>
> der Kern wird aufgespannt vom vektor
> [mm]<\pmat{0\\
0\\
\vdots\\
0\\
1}>[/mm]
> Da bin ich mir unsicher..
>
Dan rechne doch einmal [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\
&0&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&0}\cdot\pmat{0\\
0\\
\vdots\\
0\\
1}[/mm] nach. Und kommt Null raus?
gruß
WIESCHOO
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Nein
$ [mm] \pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0} [/mm] $
Also spannt [mm] <\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}> [/mm] den Kern auf.
Frage: Ist A diagonlaisierbar?
Der Kern ist 1 dimensional.
Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat. Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie diagonalisierbar.
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> Nein
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> [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\
&0&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&0}\cdot\pmat{1\\
0\\
\vdots\\
0\\
0}[/mm]
> Also spannt [mm]<\pmat{1\\
0\\
\vdots\\
0\\
0}>[/mm] den Kern auf.
>
Ich kann ja meine Frage noch einmal stellen 
Gilt denn [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\
&0&\ddots& \\
&&\ddots&1\\
&&&0}\cdot\pmat{0\\
0\\
\vdots\\
0\\
1}=\vec{0}[/mm] ?
Ja das ist der Kern.
> Frage: Ist A diagonlaisierbar?
> Der Kern ist 1 dimensional.
> Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat.
> Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie
> diagonalisierbar.
>
Genauso ist es.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 23.04.2012 | | Autor: | theresetom |
danke,lg
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