Eigenwert/-vektor bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 07.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, [/mm] (x,y) -> (x,-y). Bestimmen Sie Eigenwerte und -vektoren dieser Abbildung.
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Hallo an alle!
Weiß nicht recht, wie ich diese EW und EV berechnen soll.
Die oben gegebene Abbildung zeigt eine Spiegelung an der y-Achse.
Muss also nun nen Skalar [mm] \lambda \in [/mm] K und einen Vektor v [mm] \in [/mm] V finden, sodass [mm] f(v)=\lambda [/mm] * v.
Aber wie genau das funktioniert, weiß ich leider nicht : (
Vom Gefühl her würde ich tippen, dass [mm] \lambda [/mm] vielleicht -1 sein, aber da liege ich sicher total falsch, oder?
Vielleicht könnte mir hier jemand weiterhelfen?
Würde mich sehr freuen!
Mfg Sr.
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> Sei [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2,[/mm] (x,y) -> (x,-y). Bestimmen Sie
> Eigenwerte und -vektoren dieser Abbildung.
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> Hallo an alle!
> Weiß nicht recht, wie ich diese EW und EV berechnen
> soll.
>
> Die oben gegebene Abbildung zeigt eine Spiegelung an der
> y-Achse.
> Muss also nun nen Skalar [mm]\lambda \in[/mm] K und einen Vektor v
> [mm]\in[/mm] V finden, sodass [mm]f(v)=\lambda[/mm] * v.
> Aber wie genau das funktioniert, weiß ich leider nicht :
> (
Hallo,
stell die Darstellungsmatrix [mm] M_f [/mm] von f auf und berechne die [mm] \lambda, [/mm] für welche die Determinante von [mm] M_f-\lambda [/mm] E Null wird. (Nullstellen des charakteristischen Polynoms).
Kern [mm] (M_f-\lambda [/mm] E) , wobei E die Einheitsmatrix ist, liefert die zugehörigen Eigenvektoren.
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> Vom Gefühl her würde ich tippen, dass [mm]\lambda[/mm] vielleicht
> -1 sein, aber da liege ich sicher total falsch, oder?
Nein. Du wirst sehen, daß einer der Eigenwerte 1 ist und der andere -1.
Mach Dir klar, was Eigenvektoren sind: die Vektoren, die (abgesehen von einem eventuell negativen Faktor) unter der Abbildung ihre Richtung beibehalten.
Und nun überleg Dir, welche beiden Richtungen das bei der Geradenspiegelung sind, und welche Eigenwerte dazugehören. Dein Ergebnis kannst Du dann ja an der Rechnung prüfen.
Gruß v. Angela
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> Vielleicht könnte mir hier jemand weiterhelfen?
> Würde mich sehr freuen!
>
> Mfg Sr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
Liebe Angela, danke für deine schnelle Antwort!
Haben die Lösungsvariante des charakteristischen Polynoms in der VL leider noch nicht durchgemacht, habe mich aber inzwischen eingelesen.
Allerdings scheitert es bei mir schon daran, dass ich mir nicht ganz sicher bin, wie die Matrix von [mm] M_{f} [/mm] aussehen würde : (
Ich glaube die weiteren Schritte wären dann aber garnichtmehr so schwer.
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Hallo!
Nun, du kannst doch erstmal ne beliebige Matrix hinschreiben.
[mm] \vektor{-x\\y}=\pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{x\\y}
[/mm]
Das ist ja sowas wie ein Gleichungssystem, also
[mm]
\begin{eqnarray}
-x & = & ax + by \\
y & = & cx + dy
\end{eqnarray}
[/mm]
Du solltest sofort sagen können, welche Werte hier a, b, c, d haben müssen.
Aber überlege doch erstmal. Du hast hier eine Spiegelung an der y-Achse. Welche Vektoren ändern ihre Richtung bei dieser Spiegelung nicht, oder zeigen danach höchsten genau in die entgegengesetzte Richtung?
Und, um welchen Faktor unterscheiden sich die Längen des jeweiligen Vektors vor und nach der Spiegelung? (Denk dran, Richtungsumkehr heißt negativer Faktor)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
> Hallo!
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> Nun, du kannst doch erstmal ne beliebige Matrix
> hinschreiben.
>
> [mm]\vektor{-x\\y}=\pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{x\\y}[/mm]
> Das ist ja sowas wie ein Gleichungssystem, also
>
> [mm]
\begin{eqnarray}
-x & = & ax + by \\
y & = & cx + dy
\end{eqnarray}
[/mm]
>
> Du solltest sofort sagen können, welche Werte hier a, b,
> c, d haben müssen.
a=-1, b=0, c=0 und d=1, oder?
>
>
> Aber überlege doch erstmal. Du hast hier eine Spiegelung
> an der y-Achse. Welche Vektoren ändern ihre Richtung bei
> dieser Spiegelung nicht, oder zeigen danach höchsten genau
> in die entgegengesetzte Richtung?
welche, die waagrecht oder senkrecht verlaufen?
> Und, um welchen Faktor unterscheiden sich die Längen des
> jeweiligen Vektors vor und nach der Spiegelung? (Denk dran,
> Richtungsumkehr heißt negativer Faktor)
+1 oder -1?
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> > Hallo!
> >
> > Nun, du kannst doch erstmal ne beliebige Matrix
> > hinschreiben.
> >
> > [mm]\vektor{-x\\y}=\pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{x\\y}[/mm]
>
>
>
> > Das ist ja sowas wie ein Gleichungssystem, also
> >
> > [mm]
\begin{eqnarray}
-x & = & ax + by \\
y & = & cx + dy
\end{eqnarray}
[/mm]
>
> >
> > Du solltest sofort sagen können, welche Werte hier a, b,
> > c, d haben müssen.
>
> a=-1, b=0, c=0 und d=1, oder?
Hallo,
das wäre richtig, wenn [mm]\vektor{-x\\y}=\pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{x\\y}[/mm] richtig wäre.
In Deinem Eingangspost gibt es aber Diskrepanzen: Du postest eine Abbildung, die die Spiegelung an der x-Achse beschreibt, sprichst aber von einer Spiegelung an der y-Achse.
Gruß v. Angela
>
> >
> >
> > Aber überlege doch erstmal. Du hast hier eine Spiegelung
> > an der y-Achse. Welche Vektoren ändern ihre Richtung bei
> > dieser Spiegelung nicht, oder zeigen danach höchsten genau
> > in die entgegengesetzte Richtung?
>
> welche, die waagrecht oder senkrecht verlaufen?
>
> > Und, um welchen Faktor unterscheiden sich die Längen des
> > jeweiligen Vektors vor und nach der Spiegelung? (Denk dran,
> > Richtungsumkehr heißt negativer Faktor)
>
> +1 oder -1?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Di 09.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst doch nur die Def. von "Eigenwert" und "Eigenvektor":
$ [mm] \lambda \in \IR$ [/mm] ist ein Eigenwert von f und $v= [mm] (v_1,v_2) \ne [/mm] (0,0)$ ist ein zugeh. Eigenvektor
[mm] \gdw [/mm]
$f(v) = [mm] \lambda*v$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
(*) [mm] $\lambda *v_1 [/mm] = [mm] v_1$ [/mm] und [mm] $\lambda *v_2 [/mm] =- [mm] v_2$ [/mm]
Fall 1: [mm] v_1 \ne [/mm] 0. Aus (*) folgt dann [mm] \lambda [/mm] =1 und [mm] v_2 [/mm] = 0. v ist also ein Vielfaches von [mm] $e_1 [/mm] = (1,0)$
Fall 2: [mm] v_2 \ne [/mm] 0. Das machst Du jetzt mal selbst.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 09.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
> Du brauchst doch nur die Def. von "Eigenwert" und
> "Eigenvektor":
>
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] ist ein Eigenwert von f und [mm]v= (v_1,v_2) \ne (0,0)[/mm]
> ist ein zugeh. Eigenvektor
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]f(v) = \lambda*v[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> (*) [mm]\lambda *v_1 = v_1[/mm] und [mm]\lambda *v_2 =- v_2[/mm]
>
> Fall 1: [mm]v_1 \ne[/mm] 0. Aus (*) folgt dann [mm]\lambda[/mm] =1 und [mm]v_2[/mm] =
> 0. v ist also ein Vielfaches von [mm]e_1 = (1,0)[/mm]
>
> Fall 2: [mm]v_2 \ne[/mm] 0. Das machst Du jetzt mal selbst.
.. [mm] v_2 \ne [/mm] 0, es folgt dann [mm] \lambda [/mm] = -1 [mm] v_{1}=0, [/mm] v ist also Vielfaches von [mm] e_{2} [/mm] = (0,1)
danke fred!
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> Sei [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2,[/mm] (x,y) -> (x,-y). Bestimmen Sie
> Eigenwerte und -vektoren dieser Abbildung.
>
> Die oben gegebene Abbildung zeigt eine Spiegelung an der
> y-Achse.
Hallo,
nein, es ist eine Spiegelung an der x-Achse: überleg' Dir, wie die Einheitsvektoren abgebildet werden.
Damit hast Du dann auch die Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 09.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
> > Sei [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2,[/mm] (x,y) -> (x,-y). Bestimmen Sie
> > Eigenwerte und -vektoren dieser Abbildung.
> >
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> > Die oben gegebene Abbildung zeigt eine Spiegelung an der
> > y-Achse.
>
> Hallo,
>
> nein, es ist eine Spiegelung an der x-Achse: überleg' Dir,
> wie die Einheitsvektoren abgebildet werden.
> Damit hast Du dann auch die Darstellungsmatrix.
>
> Gruß v. Angela
ja danke Angela, es muss sich natürlich um eine Spiegelung an der x-Achse handeln! =)
(und danke für deine geduld mit mir!)
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