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Hallöchen! Ich hab da mal ne knifflige Frage und hoffe einer von euch kann mir dabei helfen. Es sei A [mm] \in [/mm] M_ [mm] \IC(n,n) [/mm] eine Matrix, deren Eigenwerte die n-ten Einheitswurzeln sind. Zeigen Sie, dass dann [mm] A^n=En [/mm] (Einheitsmatrix) gilt.
Würde mich schon über jeden Ansatz freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 26.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
Kann es sein, dass [mm] A^n [/mm] nur ähnlich zu der Einheitsmatrix sein soll?
Dann wäre es nämlich einfach : A ist dann nämlich ähnlich zu der Diagonalmatrix D mit den Einheitswurzeln auf der Diagonalen, also gibt es eine Basis, so dass $ [mm] A=T*D*T^{-1} [/mm] $
Dann ist $ [mm] A^n [/mm] = [mm] T*D^n *T^{-1}=T*E_n *T^{-1} [/mm] $ , also ist [mm] A^n [/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix...
Überprüfe also mal bitte dein Gleichheitszeichen, ob da nicht eher ein ähnlichkeitszeichen steht (also ein Punkt drüber, oder gewellt oder so).
viele Grüße
DaMenge
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Erstaml Danke, dass du so schnell geantwortet hast. Also, in meiner Aufgabe steht wirklich ein Gleichheitszeichen. Heißt das dann, das das was du geschrieben hast schon die Lösung ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 So 26.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Dann ist [mm]A^n = T*D^n *T^{-1}=T*E_n *T^{-1}[/mm]
[m]=T*T^{-1}=E_n[/m]. Die Einheistmatrix ist blos zu sich selbst ähnlich!
SEcki
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Ansich ist es ja ganz einleuchtend, was ihr da geschrieben habt, aber ich hab trtzdem noch eine Frage. In der Aufgabenstellung steht was von Eigenwerten, die die n-ten Einheitswurzeln sind, sollte man diese nicht noch irgendwie miteinbeziehen?
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Bonjour!
Die wurden an sich schon mit einbezogen: Die Diagonalmatrix hat als Einträge die Eigenwerte der Originalmatrix, also auf der Hauptdiagonalen deine n-ten Einheitswurzeln.
Durch das "hoch-n-nehmen" wird aus der Diagonamlatrix mit den n-ten Einheitswurzeln eine Matrix mit ausschließlich 1en auf der Hauptdiagonale (n-te Einheitswurzel hoch n), also die Einheitsmatrix, das neutrale Element der Matrixmultiplikation.
Somit bleiben noch T und [mm] T^{-1} [/mm] für die Multiplikation erhalten, und diese ergeben wiederum eine Einheitsmatrix als Ergebnis.
Au revoir!
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