Eigenvektoren von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Fr 06.10.2006 | | Autor: | romakege |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zu der Bestimmung von Eigenvektoren von Matrizen.
Ich habe also von einer 3x3 Matrix 2 Eigenwerte bestimmt.
[mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=-2
[/mm]
Jetzt will ich die Eigenvektoren dazu ausrechnen. Dazu rechne ich
[mm] (A-\lambda*I) [/mm] Die lamda werden halt einzeln eingesetzt. Und dann forme ich das in Zeilenstufenform um.
Jetzt bekomme ich zu dem [mm] \lambda_2 [/mm] folgende Matrix:
[mm] \vmat{ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
also [mm] x_1-2x_2+2x_3=0 [/mm] mit zwei freien Parametern, da ich zwei Nullzeilen habe.
Jetzt wird mir bei der Lösung vorgegeben, dass folgende zwei Vektoren die Eigenvektoren zu [mm] \lambda_2 [/mm] sind:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\1}.
[/mm]
Das resultiert ja aus der von dem der das gerechnet hat bestimmten Parameter, oder?
Ich kann doch ganz andere Zahlen nehmen und würde auch ganz andere Vektoren bekommen.
In der Lösung wird nämlich nicht gesagt, dass man auch andere Vektoren bekommen kann.
Wäre für Klärung sehr dankbar.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Fr 06.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> also [mm]x_1-2x_2+2x_3=0[/mm] mit zwei freien Parametern, da ich
> zwei Nullzeilen habe.
Also alles bis hierhin können wir ja nicht überprüfen, weil du die Ausgangsmatrix nicht mit angegeben hast, also gehen wir mal davon aus, dass dies deine einzige Gleichung ist !
Dann setze zwei der drei Variablen beliebig, also z.B. :
[mm] x_2=s [/mm] und [mm] x_3=t [/mm] , dann folgt für [mm] x_1 [/mm] aus der Gleichung: [mm] x_1=2s-2t
[/mm]
also lautet dein allgemeiner Lösungsvektor (bzw hier LösungsRAUM)
[mm] $\vektor{2s-2t\\s\\t}=s*\vektor{2\\1\\0}+t*\vektor{-2\\0\\1}$
[/mm]
hier siehst du nun auch, dass [mm] $\{\vektor{2\\1\\0} , \vektor{-2\\0\\1} \}$ [/mm] eine Basis des Lösungsraumes ist
(es wurde einfach s=1 und t=1 gewählt).
aber natürlich sind auch für alle [mm] $s,t\in\IR\backslash\{0\}$ [/mm] obige Vektoren eine Basis...
Ein anderes Beispiel und einen nützlichen Link zur Kontrolle kannst du HIER nachlesen
viele Grüße
DaMenge
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