Eigenvektoren einer Drehmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, b_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] Drehmatrix D
Die Drehmatrix führt eine Drehung um die Achse [mm] b_{3} [/mm] mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 90° durch.
a) Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat die Matrix D? |
Hallo zusammen,
mein Problem bei der hiesigen Aufgabe ist die Ermittlung der Eigenvektoren. Ich habe in die Drehmatrix D = [mm] \pmat{ cos \alpha && -sin \alpha && 0 \\ sin \alpha && cos \alpha && 0 \\ 0 && 0 && 1 } [/mm] die 90° eingefügt, so dass ich D = [mm] \pmat{ 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 } [/mm] erhalte. Gemäß det(D - [mm] \lambda [/mm] E) erhalte ich - [mm] \lambda^3 [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + 1. Daraus lässt sich der Eigenwert 1 ermitteln.
Berechne ich nun als nächstes D - 1 * E erhalte ich als Ergebnis die Matrix [mm] \pmat{ -1 && -1 && 0 \\ 1 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 } [/mm] und ab da beginnt die Irritation. Benutze ich nämlich nun den Gauß-Algorithmus erhalte ich für alle drei x 0, da aber ein Eigenvektor ein "Skalierungsfaktor" ist (so nenne ich es mal), kann 0 nicht stimmen. 0 mal irgendwas ist ja stets 0.
Würde mich freuen, wenn jemand analysieren könnte, wo ich falsch abgebogen bin. Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 16.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, b_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, b_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0},[/mm] Drehmatrix D
> Die Drehmatrix führt eine Drehung um die Achse [mm]b_{3}[/mm] mit
> dem Winkel [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] = 90° durch.
> a) Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat die Matrix D?
> Hallo zusammen,
>
> mein Problem bei der hiesigen Aufgabe ist die Ermittlung
> der Eigenvektoren. Ich habe in die Drehmatrix D = [mm]\pmat{ cos \alpha && -sin \alpha && 0 \\ sin \alpha && cos \alpha && 0 \\ 0 && 0 && 1 }[/mm]
> die 90° eingefügt, so dass ich D = [mm]\pmat{ 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 }[/mm]
> erhalte. Gemäß det(D - [mm]\lambda[/mm] E) erhalte ich - [mm]\lambda^3[/mm]
> + [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] + 1. Daraus lässt sich der Eigenwert
> 1 ermitteln.
[EDIT] Das ist der einzige reelle Eigenwert; es gibt außerdem noch zwei zueinander konjugiert komplexe Eigenwerte [mm] $\pm [/mm] i$.
>
> Berechne ich nun als nächstes D - 1 * E erhalte ich als
> Ergebnis die Matrix [mm]\pmat{ -1 && -1 && 0 \\ 1 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 }[/mm]
> und ab da beginnt die Irritation. Benutze ich nämlich nun
> den Gauß-Algorithmus erhalte ich für alle drei x 0,
Da hast du falsch gerechnet, denn offensichtlich ist [mm] $\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] eine Lösung de Gleichungssystems und damit ein Eigenvektor. Ist ja auch klar, da es sichum eine Drehung um die z-Achse handelt.
Viele Grüße
Rainer
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Dann ist also der genannte Vektor und der Eigenwert 1 die komplette Antwort auf die Frage, nehme ich an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 17.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dann ist also der genannte Vektor und der Eigenwert 1 die
> komplette Antwort auf die Frage, nehme ich an.
Wie ich schon schrieb, ist das nur einer der drei Eigenwerte der Matrix D.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 18.09.2012 | | Autor: | Hamu-Sumo |
Gemäß dem Polynom ist 1 der einzig reelle Wert (zur Sicherheit habe ich es von einem Tool überprüfen lassen), daher fühle ich auf der korrekten Seite. ;)
Danke nochmals!
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