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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 } [/mm] |
Die Eigenwerte habe ich fast sofort bestimmen können und zwar so:
[mm] det(A-\lambda E)=\vmat{ 2-\lambda & -3 & 1 \\ 3 & 1-\lambda & 3 \\ -5 & 2 & -4\lambda } [/mm] = ... = [mm] -\lambda^3-\lambda^2+2\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm] (durch Ausprobieren)
[mm] \lambda_{2,3} [/mm] mit Hilfe der pq-Formel
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2+2}=-\bruch{1}{2}\pm\bruch{3}{2}
[/mm]
Die Eigenwerte der o.g. Matrix also [mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-2 [/mm] ... oder ?!
Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren habe ich versucht auf diesem Weg zu lösen:
1. Eigenvektor: [mm] (A-\lambda_{1}E)x_{1}=0\Rightarrow\pmat{\pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 }-0\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=0\gdw\pmat{ 2x_{1} & -3x_{2} & x_{3} \\ 3x_{1} & x_{2} & 3x_{3} \\ -5x_{1} & 2x_{2} & -4x_{3} }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ... und ab hier weiß ich nicht weiter!
Wenn ich versuche das Gleichungssystem zu lösen, dann kommt als Ergebnis [mm] x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0 [/mm] und somit soll 1. Eigenvektor [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein. Mir kommt hier aber etwas spanisch vor ... vor allem wenn mir aus einer nicht 100%-verlässlischer Quelle ein Eigenvektor mit diesen Werten [mm] \pmat{10\\3\\-11} [/mm] genannt wird.
Habe ich irgendwo ein Fehler gemacht oder stimmt alles? ... sehe leider keine Fehler in der Rechnung.
Ich danke im Voraus,
prikolshik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo prikolshik,
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender
> Matrix:
> [mm]\pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 }[/mm]
> Die
> Eigenwerte habe ich fast sofort bestimmen können und zwar
> so:
> [mm]det(A-\lambda E)=\vmat{ 2-\lambda & -3 & 1 \\ 3 & 1-\lambda & 3 \\ -5 & 2 & -4\lambda }[/mm]
> = ... = [mm]-\lambda^3-\lambda^2+2\lambda=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm] (durch Ausprobieren)
Naja, [mm] $\lambda$ [/mm] (bzw. [mm] $-\lambda$) [/mm] auszuklammern, ist auch eine Idee 
>
> [mm]\lambda_{2,3}[/mm] mit Hilfe der pq-Formel
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2})^2+2}=-\bruch{1}{2}\pm\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Die Eigenwerte der o.g. Matrix also [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-2[/mm]
> ... oder ?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
>
> Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren habe ich
> versucht auf diesem Weg zu lösen:
> 1. Eigenvektor:
> [mm](A-\lambda_{1}E)x_{1}=0\Rightarrow\pmat{\pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 }-0\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=0\gdw\pmat{ 2x_{1} & -3x_{2} & x_{3} \\ 3x_{1} & x_{2} & 3x_{3} \\ -5x_{1} & 2x_{2} & -4x_{3} }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> ... und ab hier weiß ich nicht weiter!
Richtiger Ansatz! Der Kern von [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3$ [/mm] ist zu bestimmen
Am übersichtlichsten ist das zu rechnen, wenn du die Matrix [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3=A-0\cdot{}\mathbb{E}_3=A$ [/mm] in Zeilenstufenform bringst
>
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> Wenn ich versuche das Gleichungssystem zu lösen, dann kommt
> als Ergebnis [mm]x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0[/mm] und somit soll 1.
> Eigenvektor [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ein Eigenvektor ist per definitionem [mm] $\neq\vec{0}$ [/mm] !!
> Mir kommt hier aber
> etwas spanisch vor
sogar oberspanisch, beinahe baskisch
> ... vor allem wenn mir aus einer nicht
> 100%-verlässlischer Quelle ein Eigenvektor mit diesen
> Werten [mm]\pmat{10\\3\\-11}[/mm] genannt wird.
Zurecht!
>
> Habe ich irgendwo ein Fehler gemacht oder stimmt alles? ...
> sehe leider keine Fehler in der Rechnung.
Du hast bisher alles richtig gemacht
Die Matrix, die nun bzgl. des Eigenwertes [mm] $\lambda=0$ [/mm] in ZSF gebracht werden muss, ist [mm] $\pmat{2&-3&1\\3&1&3\\-5&2&-4}$
[/mm]
Addieren wir hier das 3-fache der 1.Zeile zum (-2)-fachen der 2.Zeile und das 5-fache der 1.Zeile zum 2-fachen der 3.Zeile, so gibt das
[mm] $\pmat{2&-3&1\\0&-11&-3\\0&-11&-3}$
[/mm]
Nun siehst du, dass die Zeilen 2 und 3 linear abh. sind, also ergibt sich
[mm] $\pmat{2&-3&1\\0&-11&-3\\0&0&0}$
[/mm]
Du hast also zwei Gleichungen in drei Unbekannten [mm] $x_1,x_2,x_3$
[/mm]
Setze [mm] $x_3:=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$, [/mm] dann ist mit Zeile 2:
[mm] $-11x_2-3x_3=0$, [/mm] also [mm] $-11x_2=3t$, [/mm] damit [mm] $x_2=-\frac{3}{11}t$
[/mm]
Damit in Zeile 1 rein:
[mm] $2x_1-3x_2+x_3=0\Rightarrow 2x_1+\frac{9}{11}t+t=0\Rightarrow 2x_2=-\frac{20}{11}t$, [/mm] also [mm] $x_1=-\frac{10}{11}t$
[/mm]
Damit ist eine Basis des Kerns von [mm] $A-0\cdot{}\mathbb{E}_3$: [/mm] $ \ \ \ \ [mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-\frac{10}{11}t\\-\frac{3}{11}t\\t}=t\cdot{}\vektor{-\frac{10}{11}\\-\frac{3}{11}\\1}=\tilde t\cdot{}\vektor{10\\3\\-11} [/mm] \ \ , [mm] \tilde t\in\IR$
[/mm]
Also [mm] $Kern(A-0\cdot{}\mathbb{E}_3)=spann\left(\vektor{10\\3\\-11}\right)$
[/mm]
Ein Vektor [mm] \neq \vec{0} [/mm] daraus kannst du als Eigenvektor nehmen, etwa für [mm] $\tilde{t}=1$
[/mm]
Das ist genau der Eigenvektor, den deine Quelle dir genannt hat
Für die anderen beiden Eigenvektoren analog ...
LG
schachuzipus
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> Ich danke im Voraus,
> prikolshik
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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@ schachuzipus
Danke für die schnelle Antwort!
Nach deiner Einleitung habe ich weiter gemacht/die Eigenvektoren habe ich zum Schluss in der beschreibender Form gelassen:
Für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] gilt:
(A-1E)x=0
[mm] \Rightarrow \vektor{\vektor{2&-3&1 \\ 3&1&3 \\-5&2&-4}-1\vektor{1&0&0 \\ 0&1&0 \\0&0&1}}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{1&-3&1 \\ 3&0&3 \\-5&2&-5}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0
[/mm]
Gleichungssystem durch Addition/Subtraktion gelösen:
[mm] \vektor{1&-3&1 \\ 0&9&0 \\0&0&0}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0 \Rightarrow x_{2}=0, x_{3}=-x_{1}
[/mm]
Sei [mm] x_{1}=t [/mm] mit [mm] t\in\IR, [/mm] so ist [mm] x_{3}=-t [/mm] , [mm] x_{2}=0 \Rightarrow\vektor{t \\ 0 \\ -t}
[/mm]
Für [mm] \lambda_{3}=1 [/mm] gilt:
(A-1E)x=0 [mm] \Rightarrow \vektor{4&-3&1 \\ 3&3&3 \\-5&2&-2}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0
[/mm]
Gleichungssystem durch Addition/Subtraktion gelösen:
[mm] \vektor{4&-3&1 \\ 0&-21&9 \\0&0&0}\Rightarrow x_{2}=-\bruch{3}{7}x_{3} [/mm] , [mm] x_{1}=-\bruch{4}{7}x_{3}
[/mm]
Sei [mm] x_{3}=t [/mm] mit [mm] t\in\IR, [/mm] so ist [mm] x_{2}=-\bruch{3}{7}t [/mm] , [mm] x_{1}=-\bruch{4}{7}t \Rightarrow\vektor{-\bruch{4}{7}t \\ -\bruch{3}{7}t \\ t}
[/mm]
Ich hoffe das jetzt alles Stimmt und nichts spanisch oder gar baskisch ist
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Hallo nochmal,
> @ schachuzipus
> Danke für die schnelle Antwort!
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> Nach deiner Einleitung habe ich weiter gemacht/die
> Eigenvektoren habe ich zum Schluss in der beschreibender
> Form gelassen:
>
> Für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] gilt:
>
> (A-1E)x=0
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{\vektor{2&-3&1 \\ 3&1&3 \\-5&2&-4}-1\vektor{1&0&0 \\ 0&1&0 \\0&0&1}}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \vektor{1&-3&1 \\ 3&0&3 \\-5&2&-5}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0[/mm]
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> Gleichungssystem durch Addition/Subtraktion gelösen:
>
> [mm]\vektor{1&-3&1 \\ 0&9&0 \\0&0&0}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0 \Rightarrow x_{2}=0, x_{3}=-x_{1}[/mm]
>
> Sei [mm]x_{1}=t[/mm] mit [mm]t\in\IR,[/mm] so ist [mm]x_{3}=-t[/mm] , [mm]x_{2}=0 \Rightarrow\vektor{t \\ 0 \\ -t}[/mm]
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> Für [mm]\lambda_{3}=1[/mm] gilt:
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> (A-1E)x=0 [mm]\Rightarrow \vektor{4&-3&1 \\ 3&3&3 \\-5&2&-2}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=0[/mm]
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> Gleichungssystem durch Addition/Subtraktion gelösen:
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> [mm]\vektor{4&-3&1 \\ 0&-21&9 \\0&0&0}\Rightarrow x_{2}=-\bruch{3}{7}x_{3}[/mm]
> , [mm]x_{1}=-\bruch{4}{7}x_{3}[/mm]
> Sei [mm]x_{3}=t[/mm] mit [mm]t\in\IR,[/mm] so ist [mm]x_{2}=-\bruch{3}{7}t[/mm] ,
> [mm]x_{1}=-\bruch{4}{7}t \Rightarrow\vektor{-\bruch{4}{7}t \\ -\bruch{3}{7}t \\ t}[/mm]
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> Ich hoffe das jetzt alles Stimmt und nichts spanisch oder
> gar baskisch ist
Es stimmt alles, gib aber noch zu [mm] $\lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] "schöne" (ganzzahlige) Eigenvektoren an, du hast ja erstmal "nur" die jeweiligen Eigenräume, bzw. Basen derselben berechnet, also solltest du noch jeweils einen Eigenvektor angeben.
Aber ansonsten ist alles richtig!
Gruß
schachuzipus
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