Eigenvektoren berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Kratos |
| Aufgabe | | Gegeben sind folgende Eigenwerte, errechnen Sie die dazugehoerigen Eigenvektoren! |
Hallo nochmal,
nachdem ihr mir gestern schnell und gut geholfen habt, frag ich gleich nochmal.
Ich habe eine Aufgabe, in der ich Eigenvektoren berechnen soll. Ich habe als Eigenwerte der Matrix 6 und -4 errechnet. Diese Stimmen auch.
Nun soll ich deb dazugehoerigen Eigenvektor aufstellen. Ich weiss ja, dass die Matrix (mit eingesetztem EW) * x = 0 ergeben muss.
Bisher habe ich immer Kombinatorik betrieben, sprich geschaut, wenn das vordere 1 ist, wie muss das hintere sein. Das geht bei dieser Aufgabe nun nicht mehr.
Ich bin soweit, dass ich ein LGS habe, wo in Zeile 1 z.B. -x1 - 3x2 = 0 und in Zeile 2 -3x1 - 3x2 = 0 steht.
Wie komme ich nun an das x1 oder x2, ich komm immer nur auf die Trivialloesungen x1 = 0 und x2 = 0. :(
Vielen Dank fuer eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
Dein Gleichungssystem hat auch nur die triviale Lösung. Dann wäre aber der Eigenvektor der Nullvektor, was nicht sein darf. Also ist dein Gleichungssystem falsch. So wie ich das
> Ich
> weiss ja, dass die Matrix (mit eingesetztem EW) * x = 0
> ergeben muss.
verstehe, scheint hier was schief zu laufen.
Gib doch deine Matrix bekannt, dann kann man besser helfen.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Kratos |
Hallo,
die Matrix ruehrt aus einer Kegelschnittaufgabe her.
F(x,y) = 5x² - 6xy - 3y² + 2x + 18y = 43.
Also habe ich den Transformationsansatz gemacht.
(x,y) * [mm] \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-3 & -3
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] + ....
Den hinteren Teil habe ich mal weggelassen, da er ja hier noch nicht interessant ist.
Von der oben angegebenen Matrix habe ich dann diese EW berechnet, die laut Maple auch richtig sein sollte. Also kann ja eigentlich nurmeine Matrix verkehrt sein, oder?
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Hallo Kratos,
Die Eigenwerte stimmen, zur Berechnung der Eigenvektoren hast du den Ansatz:
[mm] (A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_2)\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0\\0}
[/mm]
Zu bestimmen ist also der [mm] Kern(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_2) [/mm] [= Eigenraum zu [mm] \lambda_i]
[/mm]
Das lässt sich sehr übersichtlich in Matrixschreibweise lösen:
Ich mach's mal für [mm] \lambda_1=6
[/mm]
[mm] A-6\cdot{}\mathbb{E}_2=\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -9 \end{pmatrix} [/mm]
Hier addiere mal das (-3)-fache der 1.Zeile zur 2.Zeile:
Das gibt
[mm] \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
Also hast du eine Nullzeile, dh. eine freie Variable, nehmen wir [mm] x_2=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann hast du mit Zeile1: [mm] -x_1-3t=0\Rightarrow x_1=-3t
[/mm]
Also ist der Eigenraum zu [mm] \lambda_1=6 [/mm] folgender Raum: [mm] \langle \vektor{-3\\1}\rangle
[/mm]
Also ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1=6 [/mm] ist zB. [mm] v_1=\vektor{-3\\1}
[/mm]
Für den Eigenwert [mm] \lambda_2=-4 [/mm] geht's analog, du erhälts ebenfalls eine Nullzeile bei den Umformungen...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Kratos |
Hallo,
weisst du, was mein Fehler war? Ich habe zwar das linke obere Element -Lambda genommen, jedoch nicht das rechte untere.
Deswegen konnte es bei mir nicht gehen.
Auf jeden Fall vielen Dank fuer die Hilfe und nochmal den allgemeinen Loesungsweg. Das mit der 0 - Zeile hab ich auch noch nicht gewusst.
Vielen Dank mal wieder :)
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