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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 So 23.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei [mm] \lambda [/mm] kein Eigenwert von A.
So ist x genau dann ein Eigenvektor von A, wenn x ein Eigenvektor von [mm] (A-\lambda E_{n})^{-1} [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
Ich krieg leider nur Ansätze hin. Ein Schubs in die richtige Richtung wäre klasse.
Hier meine Ansätze.
Sei x eine Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \mu, [/mm] dann gilt Ax = [mm] \mu [/mm] x
zz. Ax = [mm] \mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x= \nu [/mm] x
wobei [mm] \nu [/mm] ein Eigenwert von [mm] (A-\lambda E_{n})^{-1} [/mm] mit dem Eigenvektor x ist.
[mm] Ax=\mu [/mm] x
[mm] \gdw x=A^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x=(A-\lambda E_{n})^{-1}*A^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x=((A-\lambda E_{n})*A)^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] ((AA-\lambda A))^{-1}*\mu [/mm] x
Weiter komm ich leider nicht,
wenn meine Schritte richtig waren ,müsste ich irgendwie darauf schließen können, dass [mm] ((AA-\lambda A))^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix von der Form: [mm] a*E_{n} [/mm] ist.(was irgendwie aber auch keinen Sinn ergibt, weil [mm] \lambda [/mm] und A irgendwie gewählt sind)
Naja falls das aber stimmen würde, dann würde gelten:
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] a*E_{n}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] a*\mu [/mm] x
Dann wähle ich dann als [mm] \nu [/mm] = [mm] a*\mu [/mm] und ich bin fertig.
Hoffentlich kann mir einer weiterhelfen.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 So 23.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
hat sich erledigt.
Kann mir jemand sagen, wie ich den Status meiner Frage veändere?
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