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Hallo
Ich grüble grade über folgende Aufgabe. Und zwar soll man ein maximales System linear unabhängiger normierter Eigenvektoren von dieser Matrix finden...die Eigenwerte hab ich schon rausgefunden, die da lauten [mm] \lambda1 [/mm] = 7 und [mm] \lambda2 [/mm] = [mm] \lambda3 [/mm] = 6
[mm] \pmat{2 & -1 & 2\\-1 & 2 & -2\\2 & -2 & 5}
[/mm]
hat jemand eine Idee, wie ich das machen soll, bzw. wie das gemeint ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, für den ersten Eigenvektor gilt doch
[mm] $\pmat{2 & -1 & 2\\-1 & 2 & -2\\2 & -2 & 5} \vektor{x\\y\\z}=\lambda_1\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
oder auch
[mm] $\left(\pmat{2 & -1 & 2\\-1 & 2 & -2\\2 & -2 & 5}-\lambda* \mathds{1}\right) \vektor{x\\y\\z}=\vec [/mm] 0$
Das ist ein lineares Gleichungssystem, das du recht einfach lösen können solltest.
Das ganze machst du eben drei mal, weil das eben drei Eigenvektoren sind.
Ach ja, die GLS sind natürlich NICHT eindeutig bestimmt, du wirst einen freien Parameter in den Lösungen haben. Der Grund ist einfach: Wenn du einen Eigenvektor hast, sind alle Vektoren, die in die gleiche Richtung zeigen, automatisch auch Eigenvektoren, egal, welchen Betrag sie haben. Und dieser freie Parameter drückt genau das aus.
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