Eigenvektor einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Fr 20.04.2012 | | Autor: | ebbe |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix:
[mm]
A= \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
[/mm] |
Ich habe die Eigenwerte über det(A-tE) berechnet...diese stimmen auch.
t1= 2
t2= 0
Wie berechne ich jetzt die Eigenvektoren ? wenn ich nämlich für t1 den Eigenvektor berechnen will und t1 in (A-tE) einsetze und dann gausse kommt folgende Matrize raus:
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Laut Lösung müsste nämlich für t1
[mm]
\begin{pmatrix}
1\\
0 \\
0
\end{pmatrix}
und
\begin{pmatrix}
0\\
0 \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
ich weiß nur leider nicht wie man da drauf kommen soll...
vielen dank schonmal
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen sie eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix:
>
> [mm]A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe die Eigenwerte über det(A-tE) berechnet...diese
> stimmen auch.
>
> t1= 2
> t2= 0
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Wie berechne ich jetzt die Eigenvektoren ? wenn ich
> nämlich für t1 den Eigenvektor berechnen will und t1 in
> (A-tE) einsetze und dann gausse kommt folgende Matrize
> raus:
Es kommt eine Matrix raus...
Deren Kern ist zu bestimmen, bzw. eine Basis desselben.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Die erste Zeile steht für [mm] 2x_2=0,
[/mm]
die zweite für 0=0 und die dritte ebenfalls für 0=0.
Aus [mm] 2x_2=0 [/mm] folgt [mm] x_2=0.
[/mm]
Für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] gibt's keine Einschränkungen, sie können beliebig gewählt werden.
mit [mm] x_1=s [/mm] und [mm] x_3=t [/mm] bekommst Du:
alle vektoren des Kerns haben die gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{s\\0\\t}=s*\vektor{1\\0\\0}+t*\vektor{0\\0\\1}, [/mm] und damit hast Du eine Basis des Kerns, also eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] t_1=2 [/mm] gefunden:
> Laut Lösung müsste nämlich für t1
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\
0 \\
0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ich weiß nur leider nicht wie man da drauf kommen soll...
Den anderen Eigenraum berechne analog.
LG Angela
>
> vielen dank schonmal
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Fr 20.04.2012 | | Autor: | ebbe |
okay aber wenn x1 und x3 frei gewählt werden können, warum geht dann nicht der eigenvektor (1,0,1) ?
und was ist das bei deinem Kern..die 0 ? ist das ein "mal"?
LG Jasmin
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> okay aber wenn x1 und x3 frei gewählt werden können,
> warum geht dann nicht der eigenvektor (1,0,1) ?
Hallo,
wer sagt denn, daß das kein Eigenvektor ist?
Das ist einer.
Ich habe halt eine mögliche Basis des Eigenraumes angegeben, welche sich zwanglos aus meiner Rechnung ergeben hat.
Entscheidend ist aber, daß die Basis in jedem Fall aus zwei vektoren besteht.
>
> und was ist das bei deinem Kern..die 0 ? ist das ein
> "mal"?
Nein. Ein Gleichheitzeichen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Fr 20.04.2012 | | Autor: | ebbe |
Dankeschön  schönen Abend noch
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