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| Aufgabe | Finden Sie den Eigenwert und Eigenvektor von
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] |
Hallo,
als Eigenwert habe ich [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1
Wenn ich [mm] \lambda [/mm] jetzt in det (A - [mm] \lambda [/mm] E)x=0 einsetze bekomme ich ja [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Wie ist denn jetzt hier mein Eigenvektor? Ich kann doch für x und y einen beliebigen Wert nehmen, oder? Ich habe gedacht der Eigenvektor wäre
[mm] \lambda \vektor{\alpha \\ \beta}
[/mm]
Aber mit so einem Programm aus dem Internet, das den Eigenvektor berechnen kann, kam [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] raus.
Warum ist das so?
Gruß
Meli
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> Wenn ich [mm]\lambda = 1[/mm] jetzt in det (A - [mm]\lambda[/mm] E)x=0 einsetze
> bekomme ich ja [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{x \\ y}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> Wie ist denn jetzt hier mein Eigenvektor?
> Ich kann doch für x und y einen beliebigen Wert nehmen,
> oder? Ich habe gedacht der Eigenvektor wäre
> [mm]\lambda \vektor{\alpha \\ \beta}[/mm]
Hallo!
Aus deinem Gleichungssystem folgt
$0*x+0*y = 0\ $
$0*x + 0*y = 0\ $
also praktisch keine Aussage, wie x und y beschaffen sind. Du musst nun (wie du es richtig getan hast), Parameter frei wählen und x und y entsprechend setzen:
$x = [mm] \alpha \in \IR, [/mm] y = [mm] \beta\in\IR$.
[/mm]
Also ist der Eigenvektor
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha \\ \beta}.
[/mm]
Weil wir zwei Parameter frei wählen mussten, um alle Lösungen des Gleichungssystems zu beschreiben, hat der Lösungsraum des Gleichungssystems die Dimension 2. Wir brauchen also zwei Basisvektoren, um den Lösungsraum aufzuspannen. Die erhält man ganz einfach, indem man den Lösungsvektor von oben auseinanderzieht und die Parameter vor die einzelnen Vektoren schreibt:
[mm] $\vektor{\alpha \\ \beta} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ \beta} [/mm] = [mm] \alpha*\vektor{1\\ 0} [/mm] + [mm] \beta*\vektor{0\\1}$
[/mm]
Die beiden entstandenen Vektoren sind deine Basisvektoren des Lösungsraums der Gleichung, also die Eigenvektoren, die den Eigenraum aufspannen.
Viele Grüße, Stefan.
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Alles klar, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Hat mir sehr geholfen :)
Gruß
Meli
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