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| Aufgabe | Bestimme Eigenwert und Eigenvektor von
[mm] A=\pmat{ 3 & -1&0&0 \\ 1 & 1&0&0 \\ 3&0&5&-3 \\ 4&-1&3&1} [/mm] |
Hi,
ich habe den Eigenwert bestimmt [mm] (\lambda=1)
[/mm]
Soweit war alles kein Problem. Doch dann wollte ich den Eigenvektor bestimmen, hier habe ich dann den Eigenwert in [mm] det(A-\lambdaE)x=0 [/mm] eingesetzt und habe nach 2 Umformungen mit Gauß:
1 -1 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
3 0 3 -3 | 0
0 0 0 0 | 0
Und jetzt weiß ich nicht genau was richtig ist.
Eine Lösung wäre [mm] x_{1}=x_{2}=\alpha [/mm] und [mm] x_{3}= \beta [/mm] und [mm] x_{4}= \alpha+\beta
[/mm]
Dann hätte ich als Eigenvekoren: [mm] \alpha \vektor{1 \\ 1\\0 \\1 } [/mm] + [mm] \beta \vektor{0 \\ 0\\1\\1}
[/mm]
Aber es wäre auch [mm] x_{1}=x_{2}=-\alpha+\beta [/mm] und [mm] x_{3}=\alpha [/mm] und [mm] x_{4}= \beta [/mm] möglich mit:
[mm] \alpha \vektor{-1 \\ -1\\1 \\0 } [/mm] + [mm] \beta \vektor{1 \\ 1\\0\\1}
[/mm]
Was ist denn richtig? Oder gehen beide Lösungen?
Gruß
Meli
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Eigenwert ist 2 und nicht 1, habe mich vertippt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Meli,
der Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] stimmt, du hast dich aber bei den Umformungen verrechnet.
[mm] $(A-\lambda *E)=\begin{pmatrix} 1&-1&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 3&0&3&-3\\ 4&-1&3&-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Umformen mit Gauß liefert
[mm] $\begin{pmatrix} 1&-1&0&0& | &0\\ 0&0&0&0& | &0\\ 1&0&1&0& | &0\\ 0&0&0&1& | &0\end{pmatrix}\quad \begin{array}{l}\rightarrow x_1=x_2\\ \\ \rightarrow x_1=-x_3 \\ \rightarrow x_4=0\end{array}\quad\Longrightarrow\quad x=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Ist die Matrix denn reell? Wenn nicht, gibt es noch komplexe Eigenwerte...
Lieben Gruß,
Fulla
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Ich hab leider die Aufgabe falsch abgeschrieben, anstatt 1 muss -1 unten rechts in der Matrix A stehen. Tut mir leid :(
Auf meinem Aufgabenzettel ist direkt unter dieser Aufgabe noch eine und da steht unten rechts eine 1, hab mich wohl versehen, sorry!
Gruß
Meli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
ok, dann komme ich - wie du - auf
[mm] $\begin{pmatrix} 1&-1&0&0& | & 0\\ 0&0&0&0& | & 0\\ 1&0&1&-1& | & 0\\ 0&0&0&0& | & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
(ich habe nur die 3. Zeile noch gekürzt)
Aus der ersten Zeile folgt [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Bei der dritten gibt es vier Möglichkeiten: [mm] $x_1, x_3$ [/mm] oder [mm] $x_4=0$ [/mm] und jeweils die anderen beiden zu null kombiniert, oder alle ungleich null mit [mm] $x_1=x_3$ [/mm] und [mm] $x_4=2*x_1$.
[/mm]
Das ergibt die vier Vektoren
[mm] $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ ($x_1=0$), $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ($x_3=0$), $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$ ($x_4=0$) [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] (alle [mm] $\neq [/mm] 0$)
Aber diese Vektoren sind linear abhängig! Wenn du aber zwei (bliebige) davon streichst, sind die übrigen beiden lin. unabhängig.
Wähle also, z.B. [mm] $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$, [/mm] dann sind diese beiden und alle Linearkombinationen davon Eigenvektoren deiner Matrix.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hi,
danke für deine Mühe, hat mir sehr geholfen :)
Gruß
Meli
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