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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 03.09.2006 | | Autor: | Dignitas |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Eigenvektoren und Eigenwerte der folgenden 2-reihigen Matrizen:
[mm] A=\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 2 } [/mm] |
Wieder einmal Hallo liebe Rechenkünstler.
Ich habe das Konzept der Eigenvektoren und Eigenwerte verstanden, stosse aber bei obiger Aufgabe auf ein Problem. Hier meine Vorgehensweise:
[mm] p=\vmat{ 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2-\lambda }=\lambda^2-3\lambda+2
[/mm]
Eigenwerte:
[mm] \lambda_1=1
[/mm]
[mm] \lambda_2=2
[/mm]
Für Eigenwert 1 = 1:
[mm] \pmat{ 1-1 & -1 \\ 0 & 2-1 }*x=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 1 }*x=\vektor{0 \\ 0} [/mm] !!!
(Eigenwert 2 für meine Frage m.E. nicht relevant)
An dieser Stelle gibt das Buch nun die Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] an.
Meine Frage bezieht sich nun auf die mit den drei roten Ausrufezeichen markierte Stelle. Die zweite Spalte ist abhängig von der ersten, fällt also weg. Aus der ersten Spalte erfahre ich nun das [mm] x_2=0 [/mm] ist, aber was geschieht mit [mm] x_1?
[/mm]
Oder falls meine Frage zu unklar definiert ist, wie komme ich auf das oben genannte Ergebnis? :)
Viele Dank schonmal an alle die sich mit meinem Problem befassen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 So 03.09.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du bist doch schon weit gekommen:
> Aus der ersten
> Spalte erfahre ich nun das [mm]x_2=0[/mm] ist, aber was geschieht
> mit [mm]x_1?[/mm]
[mm] x_1 [/mm] ist beliebig, also : [mm] x_1=t [/mm] beliebig aus [mm] $\IR$ [/mm] , dann ist [mm] $\vektor{t\\0}=t*\vektor{1\\0}$ [/mm] ein allgemeiner Eigenvektor zum Eigenwert 1
(wenn v eigenvektor zum Eigenwert $lambda$ ist, dann ist auch immer t*v (für beliebige t) eigenvektor zum Eigenwert $lambda$)
bei [mm] x_2 [/mm] analog, du erhälst aus der ersten Zeile dann:
[mm] $-x_1 -x_2=0$ [/mm] also [mm] $x_2=-x_1$ [/mm] , also setze wieder [mm] $x_1=t$ [/mm] beliebig, dann ist [mm] $\vektor{t\\-t}=t*\vektor{1\\-1}$ [/mm] ein allgemeiner Eigenvektor zum Eigenwert 2
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 03.09.2006 | | Autor: | Dignitas |
Stimmt, da war ich wirklich kurz davor. Den Eigenvektor zum Eigenwert 2 hatte ich auch schon richtig :) Was mich verwirrt hat, war einfach nur die Nuller-Spalte.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
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