Eigenschaften von Parabeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zu der Bestimmung der Eigenschaften von Parabeln.
Eine Parabel (f(x)=bx²) bei der b<1 ist, ist getaucht.
Eine Parabel, bei der b>0 und b< 1 ist, ist gestreckt.
Ich hoffe, das ist so weit richtig.
Aber was ist mit der Parabel, wenn b<0 ist? Ich weiß, dass sie dann nach unten geöffnet ist, aber wie sieht es da mit dem Streckungen und Stauchungen aus?
Weiterhin reden wir über die Monotonie (ob steigend oder fallen und wenn ja, für welche Bedinungen), die Symmetrie und die Asymptoten. Aber leider muss ich gestehen, dass ich gar nicht weiß, wie man diese Dinge bestimmt. Muss man da zwischen [mm] y=x^n [/mm] und y=x^-n unterscheiden?
Ich hoffe, dass man mir die Fragen beantworten kann, auch wenn es langen Erklärungen bedarf.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fugre |
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Fragen zu der Bestimmung der
> Eigenschaften von Parabeln.
> Eine Parabel (f(x)=bx²) bei der b<1 ist, ist getaucht.
> Eine Parabel, bei der b>0 und b< 1 ist, ist gestreckt.
> Ich hoffe, das ist so weit richtig.
> Aber was ist mit der Parabel, wenn b<0 ist? Ich weiß, dass
> sie dann nach unten geöffnet ist, aber wie sieht es da mit
> dem Streckungen und Stauchungen aus?
>
> Weiterhin reden wir über die Monotonie (ob steigend oder
> fallen und wenn ja, für welche Bedinungen), die Symmetrie
> und die Asymptoten. Aber leider muss ich gestehen, dass ich
> gar nicht weiß, wie man diese Dinge bestimmt. Muss man da
> zwischen [mm]y=x^n[/mm] und y=x^-n unterscheiden?
>
> Ich hoffe, dass man mir die Fragen beantworten kann, auch
> wenn es langen Erklärungen bedarf.
> Danke im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo Englein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
oben steht viel Richtiges, aber nicht immer vollständig.
Betrachten wir zunächst einmal die Streckung bzw Stauchung.
Bei der Bennenung des Vorfaktors ist es üblicher a zu nehmen, aber das ist ja nur Form.
Also
(1) $ |b| < 1 $ so ist die Parabel gestaucht.
(2) $ |b| > 1 $ so ist die Parabel gestreckt.
Jetzt betrachten wir die Öffnung der Parabel:
Hat b ein negatives Vorzeichen, so ist die Parabel nach unten geöffnet
Hat b ein posititves Vorzeichen, so ist die Parabel nach oben geöffnet
Jetzt die Monotonie:
Bei Parabeln guckst du nur von wo bis wo sie steigen bzw fallen.
Bei Parabeln 2. Ordnung (also mit 2 als größtem Exponent) gibt es genau ein Intervall in dem sie steigt und
genau ein Intervall in dem sie fällt. Diese beiden Intervalle "treffen" sich an den Scheitelpunkten.
Bedeutet du betrachtest, ob der Funktionswert für ein beliebiges x links vom Scheitelpunkt größer ist, als
der Funktionswert am Scheitelpunkt. Ist dies der Fall, so kannst du über die Monotonie sagen:
Im Intervall $ [- [mm] \infty [/mm] ; [mm] x_{Scheitelpunkt} [/mm] ] ist der Graph der Funktion streng monoton fallend und im im Intervall
[mm] $[x_{Scheitelpunkt} [/mm] ; [mm] \infty [/mm] ] $ ist der Graph der Funktion streng monoton steigend.
Eine nach oben geöffnete Parabel fällt bis zum Scheitelpunkt und steigt dann bis in die Unendlichkeit.
Zur Symmetrie ganzrationaler Funktionen ist zu sagen:
Hat die Funktionsvariable nur gerade Exponenten, so liegt eine Achsensymmetrie vor.
Hat die Funktionsvariable nur ungerade Exponenten, so liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Asymptoten sind ja Tangenten in der Unendlichkeit.
Hier kannst du zwischen $ [mm] x^n [/mm] $ und $ [mm] x^{-n}= \bruch{1}{x^n} [/mm] $ unterscheiden, weil der Funktionswert
im ersten Fall für x gegem $ [mm] \infty [/mm] $ gegen $ [mm] \infty [/mm] $ läuft und im zweiten Fall für x gegen $ [mm] \infty [/mm] $ gegen 0 läuft.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar bleiben, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
Danke sehr, das hat mir schon um einiges geholfen.
Ich habe alles verstanden bis auf die Asymptoten und die Monotonie.
Kannst du es vielleicht mit einem Beispiel verdeutlichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fugre |
> Danke sehr, das hat mir schon um einiges geholfen.
> Ich habe alles verstanden bis auf die Asymptoten und die
> Monotonie.
> Kannst du es vielleicht mit einem Beispiel verdeutlichen?
>
Kurzes Beispiel:
$ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $
Scheitelpunkt S(0/0)
Monotonie:
Vorzeichen 1, also positiv $ [mm] \rightarrow [/mm] $ die Kurve ist von $ - [mm] \infty [/mm] $ bis 0 fallend, von
da an steigend.
Asymptote:
Je größer dein x ist, desto größer ist bei dieser Funktion die Steigung, also $f'(x)$ .
Die Asymptote ist eine Tangente in der Unendlichkeit, das heißt ihre Steigung ist gleich dem
Funktionswert von $f'(x)$ für x gegen $ [mm] \infty [/mm] $ . In diesem Fall also $ [mm] \infty [/mm] $
Asymptote für $ g(x)= [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $
Auch hier betrachtest du wieder den Funktionswert der 1. Ableitung, wenn x gegen $ [mm] \infty [/mm] $
läuft. Hier ist es so, dass der Wert gegen 0 läuft.
Ich weiß leider nicht, wie weit ihr schon seid, deshalb ist es schwierig es dir möglichst einfach zu
erklären. Wenn ihr schon Ableitungen und so durchgenommen habt, dann ist es recht einfach zu erklären,
ansonsten ist es recht aufwendig.
Über Monotonie findest du auch ausführliche und gute Inforamtionen auf diesen Seiten  monoton und ![[]](/images/popup.gif) Monotonie
Über Asymptoten auch hier Asymptote
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte noch etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
> Hallo englein,
>
> ich habe ein paar Fragen zu der Bestimmung der
> Eigenschaften von Parabeln.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Parabel, Scheitelpunktform
> Eine Parabel (f(x)=bx²) bei der b<1 ist, ist getaucht.
> Eine Parabel, bei der b>0 und b< 1 ist, ist gestreckt.
> Ich hoffe, das ist so weit richtig.
> Aber was ist mit der Parabel, wenn b<0 ist? Ich weiß, dass
> sie dann nach unten geöffnet ist, aber wie sieht es da mit
> dem Streckungen und Stauchungen aus?
>
> Weiterhin reden wir über die Monotonie (ob steigend oder
> fallen und wenn ja, für welche Bedinungen),
siehe: monoton
> die Symmetrie symmetrisch
> und die Asymptoten.
> Aber leider muss ich gestehen, dass ich
> gar nicht weiß, wie man diese Dinge bestimmt. Muss man da
> zwischen [mm]y=x^n[/mm] und y=x^-n unterscheiden?
Redet Ihr von Parabeln, dann ist eigentlich meistens nur n=2 gemeint?
Aber manchmal auch von Parabeln "höherer Ordnung".
Das solltest du uns erst einmal mitteilen.
>
> Ich hoffe, dass man mir die Fragen beantworten kann, auch
> wenn es langen Erklärungen bedarf.
Du hast doch bestimmt ein Mathebuch, in dem diese Begriffe sicherlich alle definiert sind.
Lies dort mal und in unserer Mathebank und melde dich wieder, wenn du konkrete Fragen dazu hast.
|
|
|
|
