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Forum "Lineare Abbildungen" - Eigenschaften surjektiver Fkt.
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Eigenschaften surjektiver Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Mi 31.10.2012
Autor: franzi_fl

Aufgabe
Sei $f:M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

(a) [mm] $\forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] N : [mm] f(f^{-1}(A))=A$. [/mm]
(b) Die Abbildung f ist surjektiv.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich bin mir noch nicht ganz sicher, was ich mit dieser Aufgabe anfangen soll.

Surjektivität ist ja definiert durch: [mm] $\text{f surjektiv} \leftrightarrow \exists g:Y \rightarrow [/mm] X [mm] \text{ mit } [/mm] f [mm] \circ [/mm] g: Id [mm] :Y\rightarrow [/mm] Y$

Angenommen, M={1,2,3,4} und N={a,b,c} und f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=c, dann ist die Funktion surjektiv. Also wäre dann [mm] $f^{-1}(c) [/mm] = [mm] \{3,4\}$ [/mm] und [mm] $f(\{3,4\})=c$, [/mm] was ja Aussage (a) entspricht.

Wie zeige ich das denn für alle $A [mm] \subset [/mm] N$ und wie zeige ich formal, dass a und b äquivalent sind?

        
Bezug
Eigenschaften surjektiver Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Mi 31.10.2012
Autor: fred97

Ich mach Dir mal (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b) vor:

Sei y [mm] \in [/mm] N. Setze [mm] A:=\{y\} [/mm] und [mm] B:=f^{-1}(A). [/mm] Dann ist B eine Teilmenge von M

Nach Vor. ist [mm] f(B)=A=\{y\}. [/mm] Damit gibt es ein x [mm] \in [/mm] B mit f(x)=y.

Da y [mm] \in [/mm] beliebig war, ist die Surjektivität von f gezeigt.

Noch ein Tipp zu  (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a)

    es gilt immer:  $ [mm] \forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] N : [mm] f(f^{-1}(A)) \subseteq [/mm] A $.

FRED



Bezug
                
Bezug
Eigenschaften surjektiver Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:28 Do 01.11.2012
Autor: franzi_fl

Aha. Danke, die Hinrichtung habe ich jetzt verstanden.

Für [mm] $(b)\rightarrow(a)$ [/mm] bin ich jetzt nach viel zu langem grübeln auf diesen Lösungsansatz gekommen:

Sei $y [mm] \in [/mm] N$, $B := [mm] f^{-1}(A)$ [/mm] und $y [mm] \in f(f^{-1}(A)) [/mm] = f(B) = [mm] \{y \in N \:|\: y=f(x) \text{ mit } x \in B \}$. [/mm]

Dann existiert nach Vor. für alle $y [mm] \in [/mm] A$ ein $x [mm] \in [/mm] B$ für das gilt $y = f(x)$.

Da $x [mm] \in [/mm] B = [mm] f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{ x \in M | f(x) \in A \}$, [/mm] gilt $f(x) [mm] \in [/mm] A$, und da $y = f(x)$ ist also $y [mm] \in [/mm] A$.

Daraus und aus der Vor. folgt dann [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in f(f^{-1}(A)): [/mm] y [mm] \in [/mm] A$ und somit dass (für alle $A [mm] \subset [/mm] N$ (?)) gilt [mm] $f(f^{-1}(A)) [/mm] = A$.

Stimmt das so oder ist das unnötig kompliziert?

Bezug
                        
Bezug
Eigenschaften surjektiver Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Do 01.11.2012
Autor: tobit09

Hallo franzi_fl und auch von mir ein herzliches [willkommenmr]!


> Für [mm](b)\rightarrow(a)[/mm] bin ich jetzt nach viel zu langem
> grübeln auf diesen Lösungsansatz gekommen:
>  
> Sei [mm]y \in N[/mm], [mm]B := f^{-1}(A)[/mm] und [mm]y \in f(f^{-1}(A)) = f(B) = \{y \in N \:|\: y=f(x) \text{ mit } x \in B \}[/mm].
>  
> Dann existiert nach Vor. für alle [mm]y \in A[/mm] ein [mm]x \in B[/mm] für
> das gilt [mm]y = f(x)[/mm].

Den Namen y hast du bereits eine Zeile drüber vergeben. Gemeint war hier sicherlich:

Sei [mm] $y\in f(f^{-1}(A))$. [/mm]
Wegen [mm] $y\in f(f^{-1}(A)) [/mm] = f(B) = [mm] \{y \in N \:|\: y=f(x) \text{ mit } x \in B\}$ [/mm] gibt es ein [mm] $x\in [/mm] B$ mit f(x)=y.


> Da [mm]x \in B = f^{-1}(A) = \{ x \in M | f(x) \in A \}[/mm], gilt
> [mm]f(x) \in A[/mm], und da [mm]y = f(x)[/mm] ist also [mm]y \in A[/mm].

Schön! [ok]

> Daraus und aus der Vor.

Welche Voraussetzung?

> folgt dann [mm]\forall y \in f(f^{-1}(A)): y \in A[/mm]

Genau, das hast du gerade gezeigt.

Also [mm] $f(f^{-1}(A))\subseteq [/mm] A$.

(Das gilt immer, auch wenn f nicht surjektiv ist.)

> und somit dass (für alle [mm]A \subset N[/mm] (?)) gilt

[mm] $A\subseteq [/mm] N$ war beliebig, also ist [mm] $f(f^{-1}(A))\subseteq [/mm] A$ für alle [mm] $A\subseteq [/mm] N$ gezeigt.

> [mm]f(f^{-1}(A)) = A[/mm].

Dass auch [mm] $A\subseteq f(f^{-1}(A))$ [/mm] gilt, hast du noch nicht gezeigt.
Dafür wirst du die Surjektivität von f benötigen.


Viele Grüße
Tobias

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