Eigenschaften einer LogFunktio < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | -3 * [mm] log_1_,_4(x-3) [/mm] + 7 |
Ich war letzte Woche krank und habe jetzt folgende Eigenschaften aus einem Heft abgeschrieben:
-An x-Achse spiegeln, statt monton steigen jetzt monoton fallend (-3)
- gestreckt, weil 3 > 1
- steigend, weil 1,4 > 1
- um 3 nach rechts verschoben, weil -3
- um 7 nach oben verschoben, weil +7
->Bis hier verstehe ich das!
Jetzt meine Fragen:
-Asymptote: vorher y-Achse, jetzt parallel zur y-Achse im Abstand von 4 ??!??
-Ging vorher durch den Punkt (1/0), jetzt durch P (4/7) woran lese ich die beiden Punkte ab!?
[mm] -D=R^{>3} [/mm] , W=R Woher bekomme ich die 3!? und ist bei Logarithmusfunktionen immer W=R!?
Ich bedanke mich im vorraus bei euren Antworten!
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> -3 * [mm]log_1_,_4(x-3)[/mm] + 7
> Ich war letzte Woche krank und habe jetzt folgende
> Eigenschaften aus einem Heft abgeschrieben:
> -An x-Achse spiegeln, statt monton steigen jetzt monoton
> fallend (-3)
> - gestreckt, weil 3 > 1
> - steigend, weil 1,4 > 1
> - um 3 nach rechts verschoben, weil -3
> - um 7 nach oben verschoben, weil +7
> ->Bis hier verstehe ich das!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das is doch super :)
> Jetzt meine Fragen:
> -Asymptote: vorher y-Achse, jetzt parallel zur y-Achse im
> Abstand von 4 ??!??
Das ist richtig, allerdings nicht im Abstand von 4 sondern 3. Die Asymptote ist die gedachte oder eben relae Gerade, an die sich die Funktion im Unendlichen beliebig nahe anschmiegt, ohne sie jemals zu erreichen. Beim normalen Logarithmus log(x) ist dies die y-Achse, weil der Logarithmus für 0 nicht definiert ist! Aber für beliebig kleine Werte ungleich 0, also z.B. 0.001 wird der Wert immer negativer und zugleich kleiner, so dass die y-Achse praktisch die Grenzgerade ist, aber eben niemals erreicht wird, da ja dann der y-Wert 0 sein müsste, den kann log(x) aber niemals annehmen.
Jetzt ist die Funktion halt um 3 nach rechts verschoben! Das bedeutet für dich, dass die y-Achse bzw eben die Asymptote ebenfalls um 3 nach rechts wandert, denn der Logarithmus darf nach wie vor niemals 0 werden oder gar negative x-Werte nehmen, denn dann wäre er nicht definiert. Wann wird $ [mm] x-3\le0 [/mm] $ ? Eben wenn [mm] x\le3 [/mm] wird, das heißt, du darfst nur x-Werte einsetzten, die größer als 3 sind! Damit ist bei x=3 eine parallele Asymptote zur y-Achse!
> -Ging vorher durch den Punkt (1/0), jetzt durch P (4/7)
> woran lese ich die beiden Punkte ab!?
Das ist ein Basispunkt eines jeden Logarithmus, den man ermittelt, indem man schaut, wann der Wert in der Klammer 1 wird, da der dazugehörige y-Wert immer 0 lautet.
Log(x) ist ja so definiert: Mit welcher Zahl muss ich die Basis 10 potenzieren/hoch nehmen, um die Zahl x zu erhalten. Wenn da stünde log(10) wäre die Antwort 1, denn es gilt ja [mm] 10^1=10. [/mm] Wenn das Argument aber log(1) lautet, so ist die Antwort immer [mm] 10^0, [/mm] denn eine beliebige Zahl mit 0 potenziert ergibt 1! Daher ist auch jeder Logarithmus, egal mit welcher Basis, beim x-Wert von 1 gleich 0, hat also dort eine Nullstelle!
Das würde auch für deine Funktion gelten, auch der Logarithmus mit der Basis 1,4 hat bei einem x-Wert von 1 eine NST, aber die Funktion ist ja um drei nach rechts verschoben, also liegt die NST bei 4, denn es gilt: 4-3=1. Aber!! du hast noch eine Verschiebung in die y-Richtung um +7. Daher ist der Wert nicht 0, sondern +7. Der Punkt lautet also 4/7 und ist keine NST mehr, da sie ja um 7 nach oben verschoben wurde. Aber den Punkt erhälst du, indem du, einfach gesagt, die Logarithmusfunktion 0 werden lässt.
Noch einmal:
-3 * [mm]log_1_,_4(4-3)[/mm] IST 0. Nur kommt jetzt noch ein +7 dazu :)
> [mm]-D=R^{>3}[/mm] , W=R Woher bekomme ich die 3!? und ist bei
> Logarithmusfunktionen immer W=R!?
Das habe ich oben schon erklärt: Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist. Der Logarithmus ist aber nur für Werte größer 0 definiert, da eine Zahl mit einer Potenz niemals negativ werden kann (wenn die Basis selbst positiv ist, was ja bei dir der Fall ist). Daher kannst du nur Werte größer als 3 einsetzen, denn die Klammer des Logarithmus, also der Ausdruck, auf den er sich bezieht, darf nicht 0 werden und die Klammer lautete ja x-3. siehe oben
Der Wertebereich ist nicht immer unbedingt [mm] \IR, [/mm] das kommt natürlich auf die Funktion an. Der normale Logarithmus geht durch ganz [mm] \IR [/mm] im Wertebereich, da er aus dem [mm] -\infty-Bereich [/mm] kommt und zwar immer langsamer aber stetig anwächst. Das gilt auch für alle Logarithmusfunktionen, die nur gestreckt oder verschoben werden, daher auch für deine Funktion hier. Damit stimmt die Aussage, solange du eine Logarithmusfunktion hast, die nur gestreckt, gestaucht, verschoben oder gespiegelt wurde. Sobald die Funktion aber irgendwie mit einer anderen verknüpft wird, ist es damit vorbei.
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> Ich bedanke mich im vorraus bei euren Antworten!
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