Eigenschaften der Matritzen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie: Sind [mm] A und B \in R^{n×n} [/mm] invertierbar, so ist auch das Produkt [mm] A*B \in R^{n×n}[/mm] invertierbar und
für die Inverse gilt [mm] (AB)^{-1} = B^{-1} *A^{-1} [/mm]
(b) Zeigen Sie: Sind [mm] P,Q \in R^{n×n} [/mm] orthogonal, so ist auch das Produkt [mm] PQ \in R^{n×n} [/mm] orthogonal.
(c) Zeigen Sie: Ist [mm]Q \in R^{n×n} [/mm] ein orthogonale Matrix, so stehen die Spaltenvektoren von Q aufeinander
senkrecht und haben die euklidische Norm 1. |
Brauche einen Tip, wie ich an die Beweise rangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Di 21.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu a)
Das [mm] (AB)^{-1} [/mm] existiert kann man durch Det(AB)=Det(A)*Det(B) beweisen. Det(AB) muss ungleich null sein, was rchtig ist, weil Det(A) und Det(B) jeweils ungleich null sind.
[mm] (AB)^{-1}(AB)=I [/mm] Daraus folgt durch Multiplikation von rechts
[mm] (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
[/mm]
zu b)
P,Q orthogonal heisst,
[mm] P^t*P=I [/mm] und ebenso [mm] Q^t*Q=I
[/mm]
[mm] (PQ)^t=Q^t*P^t=Q^{-1}*P^{-1}=(PQ)^{-1} [/mm] also
[mm] (PQ)^t*PQ=I
[/mm]
zu c)
gilt wegen [mm] Q^t*Q=I
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
|
