Eigenschaften Oberintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 13.07.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich versuche gerade folgenden Beweis nachzuvollziehen:
Beh:
[mm] \overline{\integral}(f+g) \le \overline{\integral}f [/mm] + [mm] \overline{\integral}g, [/mm] wobei f,g [mm] \in F_n (F_n:=\{f:R^n \to R: supp f kompakt\})
[/mm]
Bew:
Sei [mm] \overline{\integral}f [/mm] + [mm] \overline{\integral}g [/mm] < s (s [mm] \in [/mm] R beliebig). Dann gibt es [mm] \phi_1, \phi_2 \in T_n [/mm] (Treppenfunktionen) mit [mm] \phi_1 \ge [/mm] f, [mm] \phi_2 \ge [/mm] g und [mm] \integral \phi_1 [/mm] + [mm] \integral \phi_2 [/mm] < s.
[mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2 \ge [/mm] f + g [mm] \Rightarrow \overline{\integral}(f+g) \le \integral(\phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2) [/mm] = [mm] \integral \phi_1 [/mm] + [mm] \integral \phi_2 [/mm] < s
[mm] (\*) [/mm] Da s beliebig war gilt
[mm] \overline{\integral}(f+g) \le \overline{\integral}f [/mm] + [mm] \overline{\integral}g
[/mm]
Meine Frage:
weshalb darf ich so [mm] (\*) [/mm] schlussfolgern? Ich weiß doch nur, dass [mm] \overline{\integral}f [/mm] + [mm] \overline{\integral}g [/mm] < s und dass [mm] \overline{\integral}(f+g) \le [/mm] s ist, aber doch nichts über die Relation zwischen diesen beiden Integralen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 14.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich versuche gerade folgenden Beweis nachzuvollziehen:
>
> Beh:
>
> [mm]\overline{\integral}(f+g) \le \overline{\integral}f[/mm] +
> [mm]\overline{\integral}g,[/mm] wobei f,g [mm]\in F_n (F_n:=\{f:R^n \to R: supp f kompakt\})[/mm]
>
> Bew:
>
> Sei [mm]\overline{\integral}f[/mm] + [mm]\overline{\integral}g[/mm] < s (s
> [mm]\in[/mm] R beliebig). Dann gibt es [mm]\phi_1, \phi_2 \in T_n[/mm]
> (Treppenfunktionen) mit [mm]\phi_1 \ge[/mm] f, [mm]\phi_2 \ge[/mm] g und
> [mm]\integral \phi_1[/mm] + [mm]\integral \phi_2[/mm] < s.
> [mm]\phi_1[/mm] + [mm]\phi_2 \ge[/mm] f + g [mm]\Rightarrow \overline{\integral}(f+g) \le \integral(\phi_1[/mm]
> + [mm]\phi_2)[/mm] = [mm]\integral \phi_1[/mm] + [mm]\integral \phi_2[/mm] < s
> [mm](\*)[/mm] Da s beliebig war gilt
> [mm]\overline{\integral}(f+g) \le \overline{\integral}f[/mm] +
> [mm]\overline{\integral}g[/mm]
>
> Meine Frage:
> weshalb darf ich so [mm](\*)[/mm] schlussfolgern? Ich weiß doch
> nur, dass [mm]\overline{\integral}f[/mm] + [mm]\overline{\integral}g[/mm] < s
> und dass [mm]\overline{\integral}(f+g) \le[/mm] s ist, aber doch
> nichts über die Relation zwischen diesen beiden
> Integralen...
Naja, du weisst, dass diese Aussage für beliebige s gilt. Also steht da genau:
Für alle s, die die Ungleichung
[mm]\overline{\integral}f + \overline{\integral}g < s [/mm]
erfüllen, gilt
[mm]\overline{\integral}(f+g) \le s [/mm]
Wenn nun die Aussage des Satzes falsch wäre, also
[mm] \overline{\integral}(f+g) > \overline{\integral}f + \overline{\integral}g [/mm]
wäre, dann existierte ein [mm] $s_1$ [/mm] mit
[mm] \overline{\integral}(f+g) > s_1 >\overline{\integral}f + \overline{\integral}g [/mm]
Widerspruch!
Viele Grüße
Rainer
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