Eigenschaften Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Sei <.> das Eukl. Skalarprodukt auf [mm] \IR^{n} [/mm] und ~<.> ein bel. anderes Skalarpr. auf [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Zeige: Es existiert eine positiv definit symmetrische Matrix X [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] mit:
[mm] ~<\vec{x},\vec{y}>=
[/mm]
Durch einsetzen geeigneter Vektoren x und y kann man die Einträge von X erhalten. Die Eigenschaften von X ergeben sich aus denen des Skalarproduktes. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Weis leider nicht wie ich bei der Aufgabe beginnen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen?
gruß
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moin,
Überleg dir mal was passiert, wenn du Einheitsvektoren einsetzt. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
ok, aber wie soll ich das denn "zeigen"?
gruß
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Was genau kriegst du denn zum Beispiel, wenn du [mm] $e_2$ [/mm] und [mm] $e_4$ [/mm] in dein Skalarprodukt einsetzt?
Und was genau bedeutet es, dass die Matrix symetrisch ist, dass die Matrix positiv definit ist?
Was muss dafür gelten?
Wenn du das hast dann guck, wie du aus der Tatsache, dass [mm] $~<\cdot,\cdot>$ [/mm] ein Skalarprodukt ist (welche Eigenschaften hat es dann?) folgern kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
> Was genau kriegst du denn zum Beispiel, wenn du [mm]e_2[/mm] und [mm]e_4[/mm]
> in dein Skalarprodukt einsetzt?
"0" für [mm] e_{2} [/mm] und [mm] e_{4}
[/mm]
> Und was genau bedeutet es, dass die Matrix symetrisch ist,
> dass die Matrix positiv definit ist?
> Was muss dafür gelten?
Eine symmetrische Matrix X ist positiv definit, falls:
1. [mm] a^{T}Xa [/mm] > 0
2. Alle Eigenwerte > 0
> Wenn du das hast dann guck, wie du aus der Tatsache, dass
> [mm]~<\cdot,\cdot>[/mm] ein Skalarprodukt ist (welche Eigenschaften
> hat es dann?) folgern kannst.
Die Skalarprodukt Eigenschaften die gelten müssen sind:
1. Symmetrie
2. Bilinearität
3. positiv definit
Ich könnte jetzt natürlich [mm] e_{1} [/mm] für [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] für [mm] \vec{y} [/mm] einsetzen.
Wie aber zeige ich jetzt dass es diese Matrix X gibt formal?
gruß
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ok, formal:
Das Skalarprodukt ist billinear.
Das heißt es ist über die Bilder der Basis eindeutig bestimmt.
Wenn du also weißt was passiert wenn du die Standardbasis einsetzt weißt du alles.
Was genau kommt raus, wenn du jetzt für x und y [mm] $e_i$ [/mm] und [mm] $e_j$ [/mm] einsetzt, welche Zeile, welche Spalte, welches was der Matrix X spielt da eine Rolle?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
> ok, formal:
> Das Skalarprodukt ist billinear.
> Das heißt es ist über die Bilder der Basis eindeutig
> bestimmt.
> Wenn du also weißt was passiert wenn du die Standardbasis
> einsetzt weißt du alles.
> Was genau kommt raus, wenn du jetzt für x und y [mm]e_i[/mm] und
> [mm]e_j[/mm] einsetzt, welche Zeile, welche Spalte, welches was der
> Matrix X spielt da eine Rolle?
Zeile i und Spalte j.
X muss also eine Diagonalmatrix sein, oder?
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Jo, genau. ;)
Und was für Einträge stehen auf der Diagonalen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:28 So 23.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
Ok, die Einheitsmatrix.
Ich zeige jetzt also
1. Die Einheitsmatrix ist positiv definit
2. Wenn [mm] A=E_{n} [/mm] erhalte ich das kanonische Skalarprodukt zurück.
Ist das so richtig?
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> Sei <.> das Eukl. Skalarprodukt auf [mm]\IR^{n}[/mm] und ~<.> ein
> bel. anderes Skalarpr. auf [mm]\IR^{n}.[/mm]
> Zeige: Es existiert eine positiv definit symmetrische
> Matrix X [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] mit:
> [mm]~<\vec{x},\vec{y}>=[/mm]
> Durch einsetzen geeigneter Vektoren x und y kann man die
> Einträge von X erhalten. Die Eigenschaften von X ergeben
> sich aus denen des Skalarproduktes.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß [mm] <\vec{x},\vec{y}>= [/mm] ist, wie Du nun gerade herausgefunden hast, ist ja nun wirklich keine sehr aufregende Erkenntnis. In Wahrheit ist sie sogar äußerst langweilig.
Diese Aussage sollst Du aber auch gar nicht zeigen.
Sondern: Es gibt eine pos. def., symmetrische Matrix X mit [mm] \widetilde{<\vec{x},\vec{y}>}=.
[/mm]
(Schau Dir nach dem Absenden stets Deine Artikel nochmal an, damit solche Pannen nicht passieren.)
Tip: [mm] X=(\widetilde{<\vec{e_i},\vec{e_j}>}), [/mm] wobei die [mm] \vec{e_i} [/mm] die Standardbasisvektoren sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
> > Sei <.> das Eukl. Skalarprodukt auf [mm]\IR^{n}[/mm] und ~<.> ein
> > bel. anderes Skalarpr. auf [mm]\IR^{n}.[/mm]
> > Zeige: Es existiert eine positiv definit symmetrische
> > Matrix X [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] mit:
> > [mm]~<\vec{x},\vec{y}>=[/mm]
> > Durch einsetzen geeigneter Vektoren x und y kann man
> die
> > Einträge von X erhalten. Die Eigenschaften von X ergeben
> > sich aus denen des Skalarproduktes.
>
>
> Hallo,
>
> .
>
> Daß [mm]<\vec{x},\vec{y}>=[/mm] ist, wie Du nun
> gerade herausgefunden hast, ist ja nun wirklich keine sehr
> aufregende Erkenntnis. In Wahrheit ist sie sogar äußerst
> langweilig.
>
> Diese Aussage sollst Du aber auch gar nicht zeigen.
>
> Sondern: Es gibt eine pos. def., symmetrische Matrix X mit
> [mm]\widetilde{<\vec{x},\vec{y}>}=.[/mm]
>
> (Schau Dir nach dem Absenden stets Deine Artikel nochmal
> an, damit solche Pannen nicht passieren.)
>
> Tip: [mm]X=(\widetilde{<\vec{e_i},\vec{e_j}>}),[/mm] wobei die
> [mm]\vec{e_i}[/mm] die Standardbasisvektoren sind.
>
> Gruß v. Angela
>
Der Tipp hilft mir leider nicht wirklich weiter...
Könntest du mir das genauer erklären bzw. einen Ansatz geben oder sagen was ich genau machen muss?
gruß
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> Der Tipp hilft mir leider nicht wirklich weiter...
Hallo,
das ist natürlich schade.
Man könnte Dir nun besser helfen, wenn Du auch verraten würdest, wieso Dir der Tip nicht hilft.
Hast Du verstanden, wie die Matrix X aussieht?
> Könntest du mir das genauer erklären bzw. einen Ansatz
> geben oder sagen was ich genau machen muss?
Du könntest für die Vektoren [mm] x=\summe x_ie_i [/mm] und [mm] y=\summe y_ie_i [/mm] ausrechnen
[mm] \widetilde{}
[/mm]
und
<Xx,y> ausrechnen und vergleichen.
Dazu wirst Du Eigenschaften des Skalarproduktes und der Matrizenmultiplikation benötigen.
Gruß v. Angela
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