Eigenschaften K-AlgebrenHomo < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 06.11.2012 | | Autor: | pila |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper. Seien $I [mm] \subseteq K[x_1,x_2,...,x_n]$ [/mm] und $J [mm] \subseteq K[y_1,y_2,...,y_m]$ [/mm] Ideale. Betrachten wir eine Abbildung:
[mm] $\Phi [/mm] : [mm] K[x_1,...,x_n]/I \to K[y_1,...,y_m]/J, [p(x_1,...,x_n) \to [p(f_1,...,f_n)],$ [/mm] wobei [mm] $f_i \in K[y_1,...,y_m]$.
[/mm]
Sei [mm] $R:=K[y_1,...,y_m,x_1,...,x_n]$ [/mm] und [mm] $I_{\Phi}:= \subseteq [/mm] R$
Zeigen Sie:
a) [mm] $\Phi$ [/mm] ist ein wohldefinierter $K$-Algebren-Homomorphismus [mm] $\gdw$ [/mm] $ [mm] (I+J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] \subseteq [/mm] J [mm] \gdw (I+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] \subseteq [/mm] J$
b) Für ein wohldefiniertes [mm] $\Phi$ [/mm] gilt: [mm] Kern$\Phi [/mm] = [mm] (I+J+I_{\Phi}) \cap K[x_1,...,x_n] [/mm] + I = [mm] (J+I_{\Phi}) \cap K[x_1,...,x_n] [/mm] + I$
c) Ein wohldefiniertes [mm] $\Phi$ [/mm] ist surjektiv [mm] $\gdw \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m [mm] \exists p_i \in K[x_1,...,x_n]$ [/mm] sodass [mm] $y_i-p_i \in I+J+I_{\Phi}$ [/mm] |
Ich habe hier ein paar Verständnisprobleme. Die Summe von zwei Idealen $I$ und $J$ ist doch definiert als $I+J:= [mm] \{i+j \mid i\in I, j\in J\}$, [/mm] welches wieder ein Ideal ist. Wenn jetzt die $I,J$ wie in der Aufgabenstellung Teilmengen der Polynomeringe sind, dann macht doch [mm] $(I+J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] \subseteq [/mm] J$ nicht viel Sinn oder? Da $I [mm] \cap K[y_1,...,y_m]$ [/mm] eh leer ist, also insbesondere auch jede Addition. Der Schnitt bedeutet hier doch nur, dass die Polynome nur in den Variablen [mm] $y_1,...,y_m$ [/mm] existieren dürfen. Monome wie [mm] $x_1y_{m-1}^2$ [/mm] wären dementsprechend nicht darin enthalten, oder [mm] $x_1 [/mm] + [mm] y_1$. [/mm] Dementsprechend ist doch [mm] $(I+J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] [/mm] = [mm] (J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m]$. [/mm] Oder wie ist der Schnitt mit dem Polynomring definiert? :) Vllt. kann jmd. helfen bei der Schreibweise, denn ich glaube meine Erklärung ist falsch. :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pila,
> Ich habe hier ein paar
> Verständnisprobleme. Die Summe von zwei Idealen [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm]
> ist doch definiert als [mm]I+J:= \{i+j \mid i\in I, j\in J\}[/mm],
> welches wieder ein Ideal ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn jetzt die [mm]I,J[/mm] wie in der
> Aufgabenstellung Teilmengen der Polynomeringe sind, dann
> macht doch [mm](I+J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] \subseteq J[/mm]
> nicht viel Sinn oder? Da [mm]I \cap K[y_1,...,y_m][/mm] eh leer ist,
Nein. [mm] $I\cap K[y_1,\ldots,y_m]$ [/mm] enthält zumindest die 0. Im Falle [mm] $I=K[x_1,\ldots,x_n]$ [/mm] gilt sogar [mm] $I\cap K[y_1,\ldots,y_m]=K$.
[/mm]
> also insbesondere auch jede Addition.
Nein. Für [mm] $f\in [/mm] I$, [mm] $g\in [/mm] J$, [mm] $h\in I_\Phi$ [/mm] kann sehr wohl [mm] $f+g+h\in K[y_1,\ldots,y_m]$ [/mm] gelten. Auch kann in f z.B. [mm] $x_1$ [/mm] auftreten. Dann muss eben in h auch [mm] $x_1$ [/mm] auftreten, so dass in $f+g+h$ die Variable [mm] $x_1$ [/mm] nicht mehr auftritt.
> Der Schnitt bedeutet
> hier doch nur, dass die Polynome nur in den Variablen
> [mm]y_1,...,y_m[/mm] existieren dürfen. Monome wie [mm]x_1y_{m-1}^2[/mm]
> wären dementsprechend nicht darin enthalten, oder [mm]x_1 + y_1[/mm].
Ja.
> Dementsprechend ist doch [mm](I+J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m] = (J+I_{\Phi}) \cap K[y_1,...,y_m][/mm].
Nein. Es wird ja links nicht zunächst der Schnitt von I und [mm] $K[y_1,\ldots,y_m]$ [/mm] genommen, sondern zunächst I mit J und [mm] $I_\Phi$ [/mm] addiert.
> Oder wie ist der Schnitt mit dem Polynomring definiert? :)
Ganz normaler Schnitt von Mengen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 06.11.2012 | | Autor: | pila |
Hey,
Aaaah. Vielen Dank. Das mit $0$ und$K$ hatte ich auch gedacht, aber nicht hier geannt. Mein Fehler, sorry. Aber mit der Antwort danach hast du mein Problem beseitigt, also wenn die Variablen sich gegenseitig wegheben. Daran habe ich irgendwie nicht gedacht. Gut, jetzt kann ich mit den Aufgaben mal anfangen. Ich meld mich wieder, falls etwas unklar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aaaah. Vielen Dank. Das mit [mm]0[/mm] und[mm]K[/mm] hatte ich auch gedacht,
> aber nicht hier geannt. Mein Fehler, sorry. Aber mit der
> Antwort danach hast du mein Problem beseitigt, also wenn
> die Variablen sich gegenseitig wegheben. Daran habe ich
> irgendwie nicht gedacht. Gut, jetzt kann ich mit den
> Aufgaben mal anfangen. Ich meld mich wieder, falls etwas
> unklar ist.
Alles klar! 
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