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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 Di 24.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hihooo,
Ich beschäftige mich mit dem Erwartungswert und möchte vier Eigenschaften beweisen.
Definition:
Sei [mm] X\colon\Omega\to\IR [/mm] eine ZV, dann besitzt X einen Erwartungswert, falls [mm] \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)|X(\omega)| [/mm] konvergiert.
Wir schreiben dann auch [mm] $X\in\mathcal L^1$ [/mm] und definieren [mm] E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega).
[/mm]
1) [mm] X\in\mathcal L^1\gdw\sum_{x\in X(\Omega)}|x|*P(X=x)<\infty. [/mm] Dann gilt: [mm] E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}x*P(X=x).
[/mm]
Angenommen die Reihe [mm] \sum_{x\in X(\Omega)}|x|*P(X=x) [/mm] konvergiert, dann gilt:
[mm] \sum_{x\in X(\Omega)}|x|*P(X=x)=\sum_{x\in X(\Omega)}|x|*\sum_{\omega\in\{X=x\}}p(\omega)=\sum_{x\in X(\Omega)}|x|*\sum_{\omega\in\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\}}p(\omega)=\sum_{x\in\{X(\omega):\omega\in\Omega\}}|x|\sum_{\omega\in\Omega:X(\omega)=x}p(\omega)
[/mm]
Ab jetzt bin ich mir unsicher, aber müsste nicht zunächst das hier gehen:
[mm] =\sum_{\omega\in\Omega}|X(\omega)|\sum_{\omega\in\Omega:X(\omega)=x}p(\omega)
[/mm]
Nun vielleicht wegen der Konvergenz die Summe raus? Brauche hier noch einen Tipp.
2) [mm] $X_1,X_2\in\mathcal L^1$ [/mm] mit [mm] $X_1\le X_2$, [/mm] dann gilt: [mm] $E(X_1)\le E(X_2)$
[/mm]
Seien [mm] $X_1,X_2\in\mathcal L^1$, [/mm] dann gilt:
[mm] E(X_1)=\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)*X_1(\omega)\le\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)*X_2(\omega)=E(X_2), [/mm] denn [mm] $X_1(\omega)\le X_2(\omega)$ [/mm] für alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] nach Voraussetzung und [mm] p(\omega) [/mm] ist fest für das jeweilige [mm] \omega\in\Omega [/mm] auf beiden Seiten.
Reicht das oder brauche ich ein weiteres Argument?
3) [mm] $X_1,X_2\in\mathcal L^1$ [/mm] und [mm] c\in\IR, [/mm] dann gilt: [mm] X_1+c*X_2\in\mathcal L^1 [/mm] und [mm] E(X_1+c*X_2)=E(X_1)+c*E(X_2).
[/mm]
Kurze Frage: Kann man immer einfach annehmen, dass die Reihe konvergiert und losrechnen, denn aus der "Rechnung" folgt dann auch die Konvergenz, richtig? Also ich würde dann mit [mm] E(X_1+c*X_2) [/mm] anfangen und mit Hilfe von Punkt 1) weitermachen, aber ich brauche eine Starthilfe hier..
4) [mm] X_1,X_2\in\mathcal L^1 [/mm] unabhängig, dann gilt: [mm] X_1*X_2\in\mathcal L^1 [/mm] und [mm] E(X_1*X_2)=E(X_1)*E(X_2).
[/mm]
Ich kann hier die Pünktchen nicht füllen und brauche Hilfe:
[mm] E(X_1*X_2)=\sum_{z}|z|*P(X_1*X_2=z)=\ldots=\sum_{x_1,x_2}|x_1||x_2|P(X_1=x_1,X_2=x_2)=\sum_{x_1,x_2}|x_1||x_2|P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)=\sum_{x_1}|x_2|P(X_1=x_1)\sum_{x_2}|x_2|P(X_2=x_2)=E(X_1)*E(X_2).
[/mm]
Dabei ist [mm] $z\in X_1*X_2(\Omega)$, [/mm] richtig? Das habe ich nicht dazugeschrieben, denn es ist unübersichtlich und ich bin mir sehr unsicher..
Danke noch einmal für die wunderbare Hilfe hier.
Viele Grüße, James!
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Hiho,
> Definition:
> Sei [mm]X\colon\Omega\to\IR[/mm] eine ZV, dann besitzt X einen
> Erwartungswert, falls
> [mm]\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)|X(\omega)|[/mm] konvergiert.
> Wir schreiben dann auch [mm]X\in\mathcal L^1[/mm] und definieren
> [mm]E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega).[/mm]
habt ihr das wirklich so definiert?
Das kann ich mir nicht wirklich vorstellen, weil es überhaupt nur für abzählbare [mm] $\Omega$ [/mm] Sinn macht.
Der später verwendete Ausdruck: $ [mm] X\in\mathcal L^1\gdw\sum_{x\in X(\Omega)}|x|\cdot{}P(X=x)<\infty [/mm] $
ist da schon deutlich korrekter. Mach dir mal klar, dass die Dinger zwar identisch sind, falls [mm] \Omega [/mm] abzählbar ist, aber deutlich unterschiedlich, falls [mm] \Omega [/mm] nicht mehr abzählbar gewählt wird (z.B. ein möglicherweise unendlicher Münzwurf!)
Schaue bitte nochmal nach, wie ihr den Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen definiert habt.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 25.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hey Gono 
Danke, dass du mir auch hier hilfst!
> Schaue bitte nochmal nach, wie ihr den Erwartungswert für
> diskrete Zufallsvariablen definiert habt.
Ich sehe gerade, dass ich vor Erwartungswert das Wort "endlich" vergessen habe zu schreiben. Also:
[mm] X\colon\Omega\to\IR [/mm] besitzt einen endlichen Erwartungswert, falls die Reihe [mm] \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)|X(\omega)| [/mm] konvergiert. Dann schreiben wir [mm] $X\in\mathcal L^1$ [/mm] und definieren [mm] E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega).
[/mm]
"kurze Erweiterung": Für jede nichtnegative ZV X können wir [mm] E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega) [/mm] definieren, auch wenn die Reihe divergiert. In diesem Fall setzen wir [mm] E(X)=\infty, [/mm] sodass wir auch ZV behandeln können, die nach unten oder nach oben beschränkt sind.
Frage: nichtnegative Zufallsvariable heißt doch: [mm] $X(\omega)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $\omega\in\Omega$, [/mm] richtig?
Weiter unten: Wegen [mm] \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega) [/mm] absolut konvergent, hängt der Wert dieser Reihe nicht von der gewählten Aufzählung von [mm] \Omega [/mm] ab.
Den letzten Teil verstehe ich nicht.
Geht die Definition nun "auf"?
Viele Grüße, James.
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Hiho,
> Frage: nichtnegative Zufallsvariable heißt doch:
> [mm]X(\omega)\ge 0[/mm] für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm], richtig?
Ja.
Erstmal deine Verständnisfrage:
> Weiter unten: Wegen
> [mm]\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega)[/mm] absolut
> konvergent, hängt der Wert dieser Reihe nicht von der
> gewählten Aufzählung von [mm]\Omega[/mm] ab.
>
> Den letzten Teil verstehe ich nicht.
Also: Ist eine Reihe nicht absolut konvergent, sondern nur konvergent (bspw. ist [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{(-1)^k}{k} [/mm] so eine Reihe), kann man sie nach dem ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Umordnungssatz so umordnen, dass dort jeder beliebige Wert aus [mm] \IR [/mm] herauskommt.
Bei absolut konvergenten Reihen geht das nicht, d.h. es spielt keine Rolle, wie wir unsere Elemente in [mm] \Omega [/mm] durchnummerieren, da kommt immer das gleiche Ergebnis raus.
> Geht die Definition nun "auf"?
Ja, man beschränkt sich dann zwar auf abzählbare [mm] $\Omega$, [/mm] aber das nehmen wir jetzt mal so hin
zur 1.) Du musst die Beträge doch gar nicht umformen, du sollst doch nur zeigen, dass:
[mm] $\summe_{x\in X(\Omega)} [/mm] x P(X=x) = [mm] \summe_{\omega \in \Omega} p(\omega)X(\omega)$
[/mm]
Dass gegeben war, dass [mm] $\summe_{x\in X(\Omega)} [/mm] |x| P(X=x) < [mm] \infty$ [/mm] war nur um sicherzustellen, dass du all deine Operationen auch machen kannst ohne was kaputt zu machen 
2.) passt
3.) Dein Ansatz ist ok, fange aber mit der rechten Seite an und nur Definitionsgeschwurbel und kurz Begründen, was du Summen zusammenziehen darfst und so, also:
[mm] $E[X_1] [/mm] + [mm] cE[X_2] [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
4.) machen wir mal zum schluss
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:02 Mi 25.06.2014 | | Autor: | James90 |
Es tut mir leid, dass ich das Wort "endlich" vergessen habe.
Das zeigt aber wieder schön, dass man Definitionen wörtlich nehmen sollte.
> Also: Ist eine Reihe nicht absolut konvergent, sondern nur
> konvergent (bspw. ist [mm]$\summe_{k=1}^\infty \bruch{(-1)^k}{k}[/mm]
> so eine Reihe), kann man sie nach dem
> Riemannschen Umordnungssatz
> so umordnen, dass dort jeder beliebige Wert aus [mm]\IR[/mm]
> herauskommt.
> Bei absolut konvergenten Reihen geht das nicht, d.h. es
> spielt keine Rolle, wie wir unsere Elemente in [mm]\Omega[/mm]
> durchnummerieren, da kommt immer das gleiche Ergebnis
> raus.
Darauf wäre ich niemals gekommen. Es ist aber schön zu sehen, dass wir vieles aus der Analysis in der Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden.
> zur 1.) Du musst die Beträge doch gar nicht umformen, du
> sollst doch nur zeigen, dass:
>
> [mm]\summe_{x\in X(\Omega)} x P(X=x) = \summe_{\omega \in \Omega} p(\omega)X(\omega)[/mm]
>
> Dass gegeben war, dass [mm]\summe_{x\in X(\Omega)} |x| P(X=x) < \infty[/mm]
> war nur um sicherzustellen, dass du all deine Operationen
> auch machen kannst ohne was kaputt zu machen
Okay, aber mein Problem bleibt bestehen. Annahme: [mm] \summe_{x\in X(\Omega)}|x|P(X=x)<\infty.
[/mm]
[mm] \summe_{x\in X(\Omega)}x*P(X=x)=\summe_{x\in X(\Omega)}x*\sum_{\omega\in\Omega:X(\omega)=x}p(\omega).
[/mm]
Außerdem gilt [mm] X(\Omega)=\{X(\omega)\in\IR:\omega\in\Omega\}, [/mm] aber damit komme ich am Ende nicht auf insgesamt [mm] \omega\in\Omega.
[/mm]
> 2.) passt
Cool.
> 3.) Dein Ansatz ist ok, fange aber mit der rechten Seite an
> und nur Definitionsgeschwurbel und kurz Begründen, was du
> Summen zusammenziehen darfst und so, also:
>
> [mm]E[X_1] + cE[X_2] = \ldots[/mm]
Ich kann dir leider nicht folgen.
Seien [mm] $X_1,X_2\in\mathcal L^1$ [/mm] und [mm] c\in\IR. [/mm] Zu zeigen: [mm] X_1+c*X_2\in\mathcal L^1 [/mm] und [mm] E(X_1+c*X_2)=E(X_1)+c*E(X_2).
[/mm]
[mm] E(X_1)+c*E(X_2)=\sum_{x\in X_1(\Omega)}x*P(X_1=x)+c*\sum_{x\in X_2(\Omega)}x*P(X_2=x).
[/mm]
Auch wenn ich es stur mit der Definition mache komme ich auf nichts.
Mein Problem ist glaube ich, dass ich das Ziel auch nicht wirkliche "sicher" angeben kann:
[mm] E(X_1+c*X_2)=\sum_{x\in X_1+c*X_2(\Omega)}x*P(X_1+c*X_2=x), [/mm] richtig?
Vielleicht das ganze ausgeschrieben wieder als Vereinigung von Mengen etc. ?
> 4.) machen wir mal zum schluss
Okay.
Sorry für die schlechte Ausbeute, aber ich komm hier wirklich nicht weiter.
Danke nochmal und viel Spaß beim Fußball.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 27.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 03:53 Sa 28.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hat sich erledigt, danke Dir!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Sa 28.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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