Eigenschaften Affine Abbildung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:28 Do 08.05.2008 | | Autor: | Patr1ck |
| Aufgabe | | Sei f: X -> Y bijektiv + affin. Zeige f^(-1) ist auch affin und zu f^(-1) gehört F^(-1) |
Hallo
Das ist nur eine von vielen Beweisen die ich in meiner derzeitigen Übungsserie nicht hin bekomme. Es wäre schön, wenn ihr mir mal diesen Beweis exemplarisch vorrechnen könntet, damit ich ne Vorlage für die Beweise der anderen Aufgaben habe.
|
|
| |
|
> Sei f: X -> Y bijektiv + affin. Zeige f^(-1) ist auch affin
> und zu f^(-1) gehört F^(-1)
> Hallo
>
> Das ist nur eine von vielen Beweisen die ich in meiner
> derzeitigen Übungsserie nicht hin bekomme. Es wäre schön,
> wenn ihr mir mal diesen Beweis exemplarisch vorrechnen
> könntet, damit ich ne Vorlage für die Beweise der anderen
> Aufgaben habe.
Hallo,
vorrechnen möchte ich das eher nicht.
Weißt Du denn, was eine affine Abbildung ist? Was hat die mit linearen Abbildungen zu tun?
Überlege Dir, daß die zugehörige lineare Abbildung bijektiv sein muß.
Wenn Du das hast, bist Du schon weit.
> und zu f^(-1) gehört F^(-1)
Was soll denn "groß F" sein? Das verstehet sich für Außenstehende nicht von selbst. Ist das die zugehörige lineare Abbildung?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 08.05.2008 | | Autor: | Patr1ck |
Danke für die Hilfe.
Im Prinzip habe ich eine Affine Abbildung als Lineare Abbildung + Translation verstanden. Das Problem bei dem Beweis liegt vor allem daran, dass ich mir keine Lineare Abbildung vorstellen kann. Desshalb weiß ich auch nicht wie ich da die Bijektivität nachweisen soll.
F^(-1) bezieht sich übrigens auf die zugehörte Lineare Abbildung.
|
|
|
| |
|
> Im Prinzip habe ich eine Affine Abbildung als Lineare
> Abbildung + Translation verstanden.
Hallo,
haargenau so ist es.
eine affine Abbildung f kann man schreiben als lineare Abbildung F + Vektor b,
also f(x)=F(x)+b
> Das Problem bei dem
> Beweis liegt vor allem daran, dass ich mir keine Lineare
> Abbildung vorstellen kann.
Zunächst einmal ist wichtig, daß Du weißt, wie lineare Abbildungen definiert sind, und daß diese den Nullpunkt stets auf den Nullpunkt abbilden. Hierdurch unterscheiden sie sich von den Affinen Abbildungen, denn diese hängen an die lineare Abbildung eine Verschiebung, wodurch der Nullpunkt i.a. nicht auf dem Nullpunkt bleibt. (Nur für b=0 bleibt der Nullpunkt fest).
Beispiele für lineare Abbildungen der Ebene, sind die Spiegelungen an Achsen, die durch den Nullpunkt gehen, Drehungen um den Nullpunkt, Streckungen mit Streckzentrum 0.
> Desshalb weiß ich auch nicht wie
> ich da die Bijektivität nachweisen soll.
Die Bijektivität von f=F+b ist ja vorausgesetzt.
Zeigen möchtest Du nun die Bijekivität von F=f-b.
Zeige dazu die Injektivität und die Surjektivität.
Für die Surjektivität könnte es nützlich sein, wenn Du Dir klarmachst, daß man jedes [mm] y\in [/mm] Y schreiben kann als (y-b)+b.
> F^(-1) bezieht sich übrigens auf die zugehörte Lineare
> Abbildung.
Wenn Du dann gezeigt hast, daß F bijektiv ist, weißt Du, daß es die Umkehrabbildung [mm] F^{-1} [/mm] gibt.
Dann schau Dir y=F(x)+b an und überleg' Dir, wie man das wohl umkehren könnte.
Laß dazu auf beide Seiten [mm] F^{-1} [/mm] los, das sollte Dich auf eine Idee für die Umkehrabbildung bringen.
Dann rechne vor, daß die gefundene Abbildung tatsächlich die Umkehrabbildung ist.
Gruß v- Angela
|
|
|
|
