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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 07.11.2008 | | Autor: | onnex |
Hallo,
ich bekomme gerade ein Aufgabe, und ich weiss net, ob ich in der richtige Richtung bin. Jmd kann mir vllt helfen.
Aufgabe:
[mm] Sei(G,\circ)eine [/mm] Gruppe mir neutralem Element e, Beweisen oder widerlegen Sie:
(1) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G, gilt [mm] (x^{-1})^{-1} [/mm] = x
(2) [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] G, gilt (x [mm] \circ y)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} \circ y^{-1}
[/mm]
bei (1) habe ich so gedacht, dass [mm] x^{-1} [/mm] kein Element von G sein kann(zB. G ist hier [mm] \IZ), [/mm] dann ist [mm] x^{-1} [/mm] ungueltig, ist die Aussage dann falsch.
bei (2) falls [mm] (G,\circ) [/mm] ist [mm] (\IZ, [/mm] +) ist dann (3 + [mm] 2)^{-1} \not= 3^{-1} [/mm] + [mm] 2^{-1}
[/mm]
ist es eine richtige Loesung?
danke im Voraus
mfG
onnex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe:
> [mm]Sei(G,\circ)eine[/mm] Gruppe mir neutralem Element e, Beweisen
> oder widerlegen Sie:
> (1) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] G, gilt [mm](x^{-1})^{-1}[/mm] = x
> (2) [mm]\forall[/mm] x, y [mm]\in[/mm] G, gilt (x [mm]\circ y)^{-1}[/mm] = [mm]x^{-1} \circ y^{-1}[/mm]
>
> bei (1) habe ich so gedacht, dass [mm]x^{-1}[/mm] kein Element von G
> sein kann(zB. G ist hier [mm]\IZ),[/mm] dann ist [mm]x^{-1}[/mm] ungueltig,
> ist die Aussage dann falsch.
>
> bei (2) falls [mm](G,\circ)[/mm] ist [mm](\IZ,[/mm] +) ist dann (3 + [mm]2)^{-1} \not= 3^{-1}[/mm]
> + [mm]2^{-1}[/mm]
Hallo,
ich glaube, daß Du nicht verstanden hast, was für [mm] g\in [/mm] G mit [mm] g^{-1} [/mm] gemeint ist.
Damit ist das inverse Element von g bzgl der gerade verwendeten Verknüpfung gemeint.
Das hat zunächst mal nichts mit Brüchen oder so zu tun.
> (zB. G ist hier [mm]\IZ),[/mm] dann ist [mm]x^{-1}[/mm] ungueltig,
> ist die Aussage dann falsch.
Wenn Du die Gruppe [mm] (\IZ, [/mm] +) betrachtest, mußt Du die Inversen bzgl + nehmen, also die, die man dazuaddieren muß um 0 herauszubekommen.
Für's Inverse von g in einer additiv geschriebenen Gruppe nimmt man meist -g.
Wenn Du die Menge H mit der Verknüpfung hast, ist [mm] h^{-1} [/mm] das Element, welches mit [mm] h\in [/mm] H verknüpft das neutrale in H ergibt, also [mm] h^{-1}h=neutrales [/mm] in h.
> bei (1) habe ich so gedacht, dass [mm]x^{-1}[/mm] kein Element von G
Eine wesentliche Eigenshaft von Gruppen ist, daß jedes Element ein Inverses in der Gruppe hat. Es muß also [mm] x^{-1} [/mm] in der Gruppe sein.
Die Frage nach
> [mm] (x^{-1})^{-1}
[/mm]
ist die Frage, welches das inverse Element von [mm] x^{-1} [/mm] ist. Mit welchem Element mußt Du [mm] x^{-1} [/mm] multiplizieren, um das neutrale zu bekommen?
Zu 2)
$ [mm] (\IZ, [/mm] $ +) ist dann (3 + $ [mm] 2)^{-1} \not= 3^{-1} [/mm] $ + $ [mm] 2^{-1} [/mm] $
> $ [mm] (\IZ, [/mm] $ +) ist dann (3 + $ [mm] 2)^{-1} \not= 3^{-1} [/mm] $ + $ [mm] 2^{-1} [/mm] $
Wie oben gesagt: wenn Du eine additive Gruppe hast, mußt Du auch mit den Inversen der Addition arbeiten.
In Deinem Beispiel wäre -(3+2) mit -3+-2 zu vergleichen. Und das ist gleich.
> (2) [mm]\forall[/mm] x, y [mm]\in[/mm] G, gilt (x [mm]\circ y)^{-1}[/mm] = [mm]x^{-1} \circ y^{-1}[/mm]
Hier wird doch gesagt, daß [mm] x^{-1} \circ y^{-1} [/mm] das Inverse zu [mm] x\circ [/mm] y ist. Rechne mal nach, ob das stimmt bzw. unter welchen Umständen das stimmt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Fr 07.11.2008 | | Autor: | onnex |
Danke für die schnelle Antwort. Jetzt ist mir ganz klar, und die Aufgabe kann ich schon richtig loesen. Danke noch ma
mfG
Onnex
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