Eigenschaft der geometr. Vert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die geometrische Verteilung hat die Eigeschaft, dass
[mm]P(T [/mm] [mm] \ge[/mm] [mm] k+j | T [/mm] [mm] \ge [/mm] k ) = P(T [mm] \ge [/mm] j ) .
Warum?
Ich habe den Beweis mit Bayes'scher Formel versucht, da ja [mm]P(T [/mm] [mm] \ge[/mm] [mm] k | T [/mm] [mm] \ge[/mm] [mm] k+j ) [/mm] = [mm] 1 [/mm]. Unter Ausnutzung der Eigenschaft der geometrischen Reihe aber komme ich dann lediglich auf [mm] P(T = j) [/mm] und nicht auf [mm] P(T \ge j ) [/mm].
Wer hat vielleicht eine Idee?
Hinweis: T ist die Zufallsvariable, die die Anzahl der Misserfolge zählt, bis erstmals ein Erfolg eintritt, also T = k bedeutet dann, dass erst nach k Misserfolgen ein Erfolg eingetreten ist.
Vielen Dnak für Eure Beiträge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 20.02.2007 | | Autor: | wauwau |
ES gibt zwar zwei Varianten der geometr. Verteilung
der Einfachheit halber die folgende:
[mm] \operatorname{P}(X=n)= p(1-p)^{n-1} [/mm] (n=1,2, [mm] \dots)
[/mm]
daher
[mm] \operatorname{P}(X \le [/mm] k) = [mm] p\sum_{i=1}^{k}(1-p)^{i-1} [/mm] = [mm] p\sum_{i=0}^{k-1}(1-p)^{i} [/mm] = [mm] p\frac{(1-p)^{k}-1}{(1-p)-1} [/mm] = 1 - [mm] (1-p)^{k} [/mm]
daher
[mm] \operatorname{P}(X [/mm] > k) = 1- (1 - [mm] (1-p)^{k}) [/mm] = [mm] (1-p)^{k}
[/mm]
daher
[mm] \operatorname{P}(X \ge [/mm] k) = [mm] (1-p)^{k} [/mm] + [mm] p(1-p)^{k-1} [/mm] = [mm] (1-p)^{k-1}
[/mm]
das sollte dir für deine Berechnung reichen
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Argh!
Dankeschön.
Hab mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen ... Die geometrische Reihe war der Übeltäter bei mir ... :(
Danke aber nochmals.
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