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| Aufgabe | Ich will den Eigenvektor von einem [mm] \lambda_1 [/mm] bestimmen. Wenn ich [mm] (A-\lambda_1E)(x)=0 [/mm] löse komme ich auf zwei Gl.
1.) [mm] x_1+x_3=0
[/mm]
2.) [mm] x_2-8x_3=0 [/mm] |
Wie sieht jetzt der Eigenvektor aus?
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> Ich will den Eigenvektor von einem [mm]\lambda_1[/mm] bestimmen.
> Wenn ich [mm](A-\lambda_1E)(x)=0[/mm] löse komme ich auf zwei Gl.
> 1.) [mm]x_1+x_3=0[/mm]
> 2.) [mm]x_2-8x_3=0[/mm]
> Wie sieht jetzt der Eigenvektor aus?
Du kannst [mm] $x_3$ [/mm] beliebig [mm]\neq 0[/mm] wählen. Diesen Wert von [mm] $x_3$ [/mm] setzt Du in Dein homogen-lieares Gleichungssystem ein: Daraus ergeben sich eindeutige Werte für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
Beispiel: Setzen wir [mm] $x_3=1$, [/mm] dann folgt aus 1.), dass [mm] $x_1=-1$, [/mm] und aus 2.), dass [mm] $x_2=8$ [/mm] sein muss. Damit ist [mm] [center]$$\vec{x}:=\vektor{-1\\8\\1}$$[/center]
[/mm]
ein Eigenvektor der betreffenden Matrix $A$ ist (ein Eigenvektor: es gibt natürlich unendlich viele Eigenvektoren von $A$: die sich in diesem Falle - wegen der Eindimensionalität des Lösungsraumes des homogen-linearen Gleichungssystems - aber alle nur durch ein skalares Vielfaches unterscheiden).
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Danke erstmal.
Insgesamt soll ich ne Aussage über diagonalisierbarkeit treffen.
Habe also von der 3x3 Matrix die zu den drei Eigenwerten zugehörigen Eigenvektoren bestimmt. Die sind nun aber alle von der Form [mm] \vektor{-1\\\mu\\1}. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(Eigenwertraum) = 1.
Ich weiß zusätzlich, dass rg(A)=dim(A)=3.
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht diagonalisierbar
Ist diese Argumentation richtig?
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Hallo pleaselook,
verstehe ich das richtig, dass du drei verschiedene Eigenwerte berechnet hast?
Dann müssen die zugehörigen Eigenräume ja eindimensional sein.
Es ist immer geometrische Vielfachheit (=dim(Eigenraum)) [mm] \le [/mm] algebraische Vielfachheit (=Vielfachheit des Eigenwertes als NST des charakt. Polynoms)
Ein Kriterium für Diagonalisierbarkeit ist:
Eine Matrix (oder der zugehörige Endomorphismus) ist diagonalisierbar, falls für jeden Eigenwert algebraische=geometrische Vielfachheit ist.
Das wäre ja dann hier der Fall
Auch: ...., wenn das char. Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, wenn es also n (hier 3) paarweise verschiedene Eigenwerte gibt.
Deine letzte Folgerung kann also nicht stimmen
Gruß
schachuzipus
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Abend.
Gut. Nachdem wir wissen, dass sie diagonalisierbar ist, will ich die Matrix A nun auch diagonalisieren.
Dazu benötigt man ne Transformationsmatrix.
1) für ne 3x3 matrix ist T doch auch 3x3?
2) T besteht aus den Eigenvktoren?
Die sind doch hier alle linear abhängig. Oder ist ein Eigenvektor hier meine T?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 06.07.2007 | | Autor: | pleaselook |
dass die eigenvektoren linear abhängig sind nehm ich zurück. Damit hat sich der Rest auch erstmal erledigt. danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 06.07.2007 | | Autor: | pleaselook |
Ok. Dennoch bekomme ich ein Problem:
T wär bei mir [mm] pmat{-1&-1&-1\\8&0,5&2\\1&1&1}.
[/mm]
Und die kann ich ja sicher nicht invertieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 3 verschiedenen Eigenwerten kannst du nicht 3 lin abh. Eigenvektoren haben!
Gruss leduart
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O.k. Dann muß ich mich verrechnet haben. Problem nur: Ich weiß nicht wo.
Also [mm] A=\pmat{0&0&1\\-5&3&3\\4&-2&-1}
[/mm]
Als Eigenwerte habe ich [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=-1.
[/mm]
zu [mm] \lambda_1 [/mm] habe ich als Eigenvektor [mm] \vektor{-1\\2\\1}
[/mm]
[mm] V(\lambda_2)=\vektor{1\\0,5\\-1} [/mm] und zu [mm] \lambda_3 \vektor{1\\8\\-1}.
[/mm]
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Hallo pleaselook,
kann es sein, dass du dich bei den Eigenvektoren verrechnet hast?
Ich habe dieselben Eigenwerte: [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=-1
[/mm]
Dazu habe ich aber andere Eigenvektoren heraus:
(1) zu [mm] \lambda_1=1: [/mm]
Da hab ich [mm] v_1=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
(2) zu [mm] \lambda_2=2:
[/mm]
Da hab ich [mm] v_2=\vektor{1\\-1\\2}
[/mm]
(3) zu [mm] \lambda_3=-1:
[/mm]
Da hab ich [mm] v_3=\vektor{-1\\-2\\1}
[/mm]
Überprüfe mal deine Rechnung oder poste sie - vllt. finden wir da nen Fehler...
Gruß
schachuzipus
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