Eigenraum bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Basen des Eigenraumes der Matrix [mm] \pmat{ i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i } [/mm] für den Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = i$
$i$ ist eine doppelte Nullstelle.
Charakteristisches Polynom: [mm] $(i-\lambda)^{2}(1-\lambda) [/mm] = 0$ |
Gut ich habs mal so aufgeschrieben:
[mm] $\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-i & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\vec{v} [/mm] = 0$
[mm] (1-i)v_{2} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow v_{2} [/mm] = 0
[mm] v_{1}, v_{2} \in \IC
[/mm]
Der Eigenvektor ist dann [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] (1,0,1)^{T}.
[/mm]
Der Eigenraum hat dann doch die Basis [mm] L\{(1,0,1)^{T}\} [/mm] oder?
Ist das richtig so?
Lg
|
|
| |
|
Hallo dreamweaver,
> Bestimme die Basen des Eigenraumes der Matrix [mm]\pmat{ i & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & i }[/mm]
> für den Eigenwert [mm]\lambda = i[/mm]
>
> [mm]i[/mm] ist eine doppelte Nullstelle.
>
> Charakteristisches Polynom: [mm](i-\lambda)^{2}(1-\lambda) = 0[/mm]
Du meinst [mm]p(\lambda)=(i-\lambda)^2(1-\lambda)[/mm]
>
> Gut ich habs mal so aufgeschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 1-i & 0 \\
0 & 0 & 0 }\vec{v} = 0[/mm]
>
> [mm](1-i)v_{2}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow v_{2}[/mm] = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]v_{1}, v_{2} \in \IC[/mm]
>
> Der Eigenvektor ist dann [mm]\vec{v}[/mm] = [mm](1,0,1)^{T}.[/mm]
>
> Der Eigenraum hat dann doch die Basis [mm]L\{(1,0,1)^{T}\}[/mm]
> oder?
Nee, du hast mit den Zeilen 1 und 3 doch [mm]v_1=s[/mm] mit [mm]s\in\IC[/mm] und [mm]v_3=t[/mm] mit [mm]t\in\IC[/mm]
Damit hat ein Eigenvektor die Gestalt [mm]\vektor{s\\
0\\
t}[/mm] mit [mm]s,t\in\IC\setminus\{0\}[/mm]
[mm]=s\vektor{1\\
0\\
0}+t\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
Du hast etwa mit [mm]s=t=1[/mm] also 2 linear unabh. Eigenvektoren [mm]\vektor{1\\
0\\
0},\vektor{0\\
0\\
1}[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda=i[/mm]
Der Eigenraum ist also [mm]L\{(1,0,0)^T,(0,0,1)^T\}[/mm] - schön 2-dimensional!
>
> Ist das richtig so?
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke schachuzipus!
Jetzt ists mir klar!
Lg
|
|
|
|
