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Hallo ich habe folgendes Problem. Also gegeben ist der Vektor [mm] u=\vektor{4 \\ -3}.
[/mm]
Ich sollte nun eine Householder Transformation machen, welches mich auf folgendes Ergebnis gebracht hat: [mm] \vmat{ -\bruch{7}{25} & \bruch{25}{25} \\ \bruch{24}{25} & \bruch{7}{25} }.
[/mm]
Nun sollte ich die Eigenwerte berechnen. Diese sind: [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1.
[/mm]
Als nächstes brauchte ich die Eigenvektoren. Es wäre nun net, wenn ihr folgenden Weg auf richtigkeit überprüfen bzw. ergänzen könntet.
ich setze zunächst meinen Eigenwert [mm] x_1=1 [/mm] in [mm] \vmat{ -\bruch{7}{25}-x & \bruch{25}{25} \\ \bruch{24}{25} & \bruch{7}{25}-x } [/mm] ein und bringe in NZSF.
Ich erhalte: [mm] \vmat{ 1 & -\bruch{3}{4} \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Nun schreibe ich [mm] x_1-\bruch{3}{4}x_2=0.
[/mm]
Da [mm] x_1 [/mm] Kopfvariable ist, drücke ich diese durch die nicht kopfvariable [mm] -\bruch{3}{4}x_2 [/mm] aus.
Ich erhalte: [mm] x_1=\bruch{3}{4}x_2.
[/mm]
Außerdem setze ich [mm] x_2=s [/mm] für s [mm] \in \IR.
[/mm]
Also steht dort jetzt [mm] x_1=\bruch{3}{4}s.
[/mm]
Ich schreibe nun, da ich ja eigentlich den Kern berechnet habe:
Ker={ [mm] s\vektor{\bruch{3}{4} \\ 1}|s \in \IR [/mm] }.
Somit erhalte ich zu dem Eigenwert [mm] x_1=1 [/mm] den Eigenvektor [mm] \vektor{\bruch{3}{4} \\ 1}
[/mm]
Was sagt ihr dazu??? Wäre das so in Ordnung??? Denn wenn ich das bei arndt- bruenner eingebe, ermittelt der mir als Eigenvektor zu 1 [mm] \vektor{3 \\ 4}
[/mm]
Wie dem auch sei wäre ich jetzt auch so zum Eingenwert [mm] x_2=-1 [/mm] vorgegangen.
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Hallo domenigge,
du hast einen kleinen Schreibfehler beim Eintrag [mm] $a_{12}$ [/mm] deiner H-Matrix.
Da muss [mm] $\frac{\red{24}}{25}$ [/mm] stehen, das benutzt du auch in deiner weiteren Rechnung, ist also nur ein Typo 
Den Rest hast du richtig berechnet.
Bedenke, dass ein Eigenvektor ja nur irgendein Vektor [mm] \neq [/mm] 0 aus dem Kern ist.
Den Kern hast du richtig berechnet als Spann von [mm] $\vektor{\frac{3}{4}\\1}$, [/mm] also [mm] $\langle\vektor{\frac{3}{4}\\1}\rangle$
[/mm]
Also alle skalaren Vielfachen von [mm] $\vektor{\frac{3}{4}\\1}$, [/mm] das hast du ja auch richtig hingeschrieben, also ist auch das s=4-fache deines EV ein EV zum EW $x=1$ ...
Ob du also deinen EV oder das 4-fache davon, also [mm] $\vektor{3\\4}$ [/mm] nimmst, ist deiner Wahl überlassen, beides stimmt jedenfalls
Dein Vorgehen ist also absolut richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
schachuzipus
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