Eichtrafo für gegebene Welle < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:17 So 19.05.2013 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegeben ist die ebene Welle im Vakuum:
[mm] $$\vec E(\vec [/mm] x, [mm] t)=\text{Re}\left(\vec a e^{i\left(\vec q\vec x-\omega t\right)}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\vec B(\vec x,t)=\frac{\vec q}{\omega(\vec q)}\times \vec E(\vec [/mm] x,t)$$
mit [mm] $\vec q\vec E=0;\quad \omega=qc_0;\quad \vec [/mm] a [mm] \in C^{3}$
[/mm]
Finde verschiedene Vektor- und Skalarpotentiale in
a) der Coulomb-Eichung [mm] ($\nabla \vec [/mm] A=0$)
b) in der Lorenz-Eichung [mm] ($\nabla\vec A+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \Phi}{\partial t}=0$) [/mm] |
Hallo Forum,
bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher, wie man diese zu Lösen hat... Ich versuche mal meinen Gedanken zur b) darzustellen (wenn b) klar ist sollte ich die a) hoffentlich schaffen):
Meine Idee:
Ich versuche erstmal allg. das Vektor- und Skalarpot. für die Lorenzeichung zu berechnen und dann die auftretenden Größen mit den Größen für das E-Feld in der Aufgabenstellung zu identifizieren.
Ich fange also an, das Vektorpotential und das Skalarpotential über die Maxwellgeleichungen in Relation zu setzen und erhalt dann mit der Lorenzeichung zwei Differentialgleichungen (im Vakuum):
[mm] $$\Delta \vec A-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\vec [/mm] A=0$$
[mm] $$\Delta \Phi-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}=0$$
[/mm]
Mit der Lösung (die 2. lin. unabhängigen Lösungen lasse ich gleich weg und die einzelnen Variablen nenne ich für beide Potentiale gleich, da sich das mMn sofort aus der Lorenzeichung ergeben würde):
[mm] $$\vec A=\vec [/mm] c [mm] e^{i(\vec k\vec x-\omega't)}$$
[/mm]
[mm] $$\Phi=de^{i(\vec k\vec x-\omega't)}$$
[/mm]
mit [mm] $\omega'=kc_0$. [/mm] Jetzt schaue ich, dass die beiden Potentiale die Lorentzeichung [mm] $\nabla\vec A+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \Phi}{\partial t}=0$ [/mm] erfüllen:
[mm] $$i\vec [/mm] c [mm] \vec [/mm] k [mm] e^{i(\vec k\vec x-\omega' t)}-i\epsilon_0\mu_0\omega' [/mm] d [mm] e^{i(\vec k\vec x-\omega' t)}\overset{!}{=}0$$
[/mm]
woraus folgt, dass [mm] $$d=\frac{\vec c\vec k}{\epsilon_0\mu_0 \omega'}=\frac{\vec c\vec k c_0}{k}$$
[/mm]
Das elektrische Feld errechnet sich nach
[mm]
\begin{matrix}
\vec E&=&-\nabla \Phi-\frac{\partial }{\partial t}\vec A\\
&=&-i\frac{(\vec c\vec k)\vec k c_0}{k}e^{i(\vec k\vec x-\omega' t)}+i\vec c\omega'e^{i(\vec k\vec x-\omega t)}\\
&=& i\left(\vec c\omega'-\frac{(\vec c\vec k)\vec kc_0}{k}\right)e^{i(\vec k\vec x-\omega't)}
\end{matrix}
[/mm]
Daraus würde ich jetzt ablesen:
[mm] $$\vec a=i\left(\vec c\omega'-\frac{(\vec c\vec k)\vec kc_0}{k}\right)$$ [/mm] und [mm] $\vec k=\vec q;\quad \omega'=\omega$
[/mm]
---
Leider weiß ich nicht, wie sinnvoll das ganze war...weil ich irgendwie erst die Eichung benutzt habe um auf die DGLs zu kommen und dann das ganze wieder rückwärts gerechnet habe um das [mm] $\vec [/mm] E$-Feld zu berechnen...
Vielen Dank schonmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 21.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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