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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 05.07.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
das bestimmte Integral [mm]\int_{0}^{\pi}{x^3*\sin x dx}[/mm] laesst sich durch dreimalige partielle Integration loesen. Jetzt soll die Aufgabe [mm]\int_{0}^{\pi}{x^4*\sin x dx}[/mm] geloest werden, die ja im Prinzip nach dem selben Schema berechnet werden kann. Da diese beiden Aufgaben in meinem Buch direkt nacheinander auftreten, dachte ich mir, dass es evtl. einen effizienteren bzw. eleganteren Weg gibt um Aufgaben dieser Form zu loesen. Gibt es einen?
Viele Gruesse,
Michael
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Michael!
Stimmt, hier hatte ich mich leider verhaspelt. 
Lies dir einfach Pauls Antwort durch.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo zusammen
meiner bescheidenen und sicherlich sowohl irrevelanten als auch irrigen Meinung nach irrt julius. Ich lasse mich aber sehr gerne eines Besseren belehren! 
Nach meinen Ueberlegungen gilt nämlich:
[mm] $\int_0^{\pi} x^4 \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] \left[ -x^4 \cos(x) \right]_0^{\pi} [/mm] + 4 [mm] \int_0^{\pi} x^3\cos(x)\, [/mm] dx$.
Mit der Abkürzung [mm] $S_{n}$ [/mm] für [mm] $\int x^n \sin(x)\, [/mm] dx$ gilt (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] $S_{n+2}=-x^{n+2}\cos x+(n+2)x^{n+1}\sin [/mm] x [mm] -(n+2)(n+1)S_{n}$
[/mm]
Wobei
[mm] $S_{0}=-\cos [/mm] x$ und
[mm] $S_{1}=\sin [/mm] x [mm] -x\cos [/mm] x$
gilt.
Ich denke also, dass für einen geraden Exponenten die Rekursionsformel einfach mit [mm] $S_{0}$ [/mm] begonnen werden sollte, für ungeraden Exponenten hingegen mit [mm] $S_{1}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 05.07.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> [...]
> Ich denke also, dass für einen geraden Exponenten die
> Rekursionsformel einfach mit [mm]S_{0}[/mm] begonnen werden sollte,
> für ungeraden Exponenten hingegen mit [mm]S_{1}[/mm]
da ich den urspruenglichen Beitrag von julius nicht mehr lesen konnte, verstehe ich leider nicht so ganz was ich mit Deiner Antwort anfangen soll. Ist der urspruengliche Beitrag zum Verstaendnis noetig? Falls nicht, dann verstehe ich es trotzdem nicht. Koenntest Du mir vielleicht noch einen kleinen Tipp geben?
Danke, Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
> Hallo,
>
> > [...]
> > Ich denke also, dass für einen geraden Exponenten die
>
> > Rekursionsformel einfach mit [mm]S_{0}[/mm] begonnen werden
> sollte,
> > für ungeraden Exponenten hingegen mit [mm]S_{1}[/mm]
>
> da ich den urspruenglichen Beitrag von julius nicht mehr
> lesen konnte, verstehe ich leider nicht so ganz was ich mit
> Deiner Antwort anfangen soll. Ist der urspruengliche
> Beitrag zum Verstaendnis noetig? Falls nicht, dann verstehe
Nein, die ist nicht nötig!
> ich es trotzdem nicht. Koenntest Du mir vielleicht noch
> einen kleinen Tipp geben?
>
> Danke, Michael
>
Nun, man kann einfach versuchen, das Integral mit einem Exponenten $n$ zu bestimmen, indem man partiell integriert: (ich lasse hierbei die Integrationskostanten weg. Wenn du willst, kannst (sollst) du diese vielleicht auch mal mit berücksichtigen, damit du am Ende siehst, warum sie für das bestimmte Integral wieder wegfallen).
[mm] $\int x^n \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] -x^n \cos(x) [/mm] + n [mm] \int x^{n-1}\cos(x)\, [/mm] dx$
Leider hat sich jetzt ins Integral rechterhand ein Cosinus hineingeschlichen, dem machen wir aber sogleich den Garaus, indem wir erneut partiell integrieren:
[mm] $\int x^{n-1}\cos(x)\, [/mm] dx = [mm] x^{n-1} \sin(x)-(n-1)\int x^{n-2}\sin(x)\, [/mm] dx$
das kann jetzt einfach oben eingesetzt werden (Klammern bitte nicht vergessen):
[mm] $\int x^n \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] -x^n \cos(x) [/mm] + [mm] n(x^{n-1} \sin(x)-(n-1)\int x^{n-2}\sin(x)\, [/mm] dx)$
$ = [mm] x^n \cos(x) [/mm] + [mm] nx^{n-1} \sin(x)-n(n-1)\int x^{n-2}\sin(x)\, [/mm] dx)$
Wenn du bei dieser Formel konsequent alle $n$ durch $n+2$ ersetzt, bekommst du:
[mm] $\int x^{n+2} \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] x^{n+2} \cos(x) [/mm] + [mm] (n+2)x^{n+1} \sin(x)-(n+2)(n+1)\int x^{n}\sin(x)\, [/mm] dx)$
Jetzt brauchst du nur für $n = 0$ einzusetzen und erhältst:
[mm] $\int x^{2} \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] x^{2} \cos(x) [/mm] + 2x [mm] \sin(x)-2\int \sin(x)\, [/mm] dx)$
Oder für $n=2$ gesetzt:
[mm] $\int x^{4} \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] x^{4} \cos(x) [/mm] + [mm] 4x^{3} \sin(x)-4*3*\int x^{2}\sin(x)\, [/mm] dx)$
Oder für $n=4$ gesetzt: (ist für deine Aufgabe aber nicht mehr nötig, nur des Prinzips wegen)
[mm] $\int x^{6} \sin(x)\, [/mm] dx = [mm] x^{6} \cos(x) [/mm] + [mm] 6x^{5} \sin(x)-6*5*\int x^{4}\sin(x)\, [/mm] dx)$
So siehst du, dass du durch sukzessives Einsetzen den Exponenten bei $x$ jeweils um $2$ erhöhen kannst, bis du am Ende angelangt bist.
Wäre der Exponent des zu integrierenden Ausdrucks ungerade gewesen, hättest du eben nicht mit [mm] $S_0$ [/mm] beginnen müssen, sondern mit [mm] $S_{1}$
[/mm]
Kannst du damit deine Aufgabe lösen?
Bei weiteren Fragen meldest du dich einfach wieder!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Michael,
bevor dir Paul seinen Weg erklärt: Mein Beitrag war so voller Flüchtigkeitsfehler, dass er dich eher irritiert hätte. Zum Verständnis von Pauls Beitrag ist er nicht erforderlich.
Liebe Grüße
Julius
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