Ebenenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 16.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebenenschar [mm] E_{a,b}:x+(1-2a)*y+bz=2 (a,b\in\IR).
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Lagebeziehung von [mm] E_{0,1} [/mm] und [mm] E_{1,0}.
[/mm]
b) Zeigen Sie,dass alle Ebenen [mm] E_{a,b} [/mm] einen gemeinsamen Punkt besitzen,und geben Sie diesen an.
c) Gehört die Ebene F:2x+4y-3z=4 zur Ebenenschar?
d) Für welche Werte von a und b liegt die Ebene [mm] E_{a,b} [/mm] parallel zur z-Achse?
e) Für welche Werte von a und b liegt die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] in der Ebene [mm] E_{a,b}? [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich hab diese Aufgabe gerechner,bin mir aber nicht sicher,ob das so stimmt und bei einigen Teilaufgaben komme ich nicht mehr weiter.Hoffe ihr könnt mir helfen.
a) [mm] E_{0,1}:x+y+z=2, E_{1,0}:x-y=2
[/mm]
Jetzt wähle ich x=2 und hab den Punkt A(2/2/0),dann wähle ich x=1 und hab den Punkt (1/-1/2).Mit den beiden Punkten stelle ich die Schnittgerade [mm] auf:g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ -3 \\ 2}.
[/mm]
Stimmt das so?
b) Hier hab ich keinen richtigen Ansatz.Ich hätte jetzt einfach zwei Ebenen [mm] E_{a_{1},b_{1}}:x+(1-2a_{1})*y+b_{1}z=2 [/mm] und [mm] E_{a_{2},b_{2}}:x+(1-2a_{2})*y+b_{2}z=2 [/mm] genommen und die Lagebeziehung untersucht,aber dann krieg ich ja keinen Punkt,höchstens mal ne Schnittgerade.
c) [mm] F=c*E_{a,b}.Dann [/mm] hab ich 3 Gleichungen:
1.) c=2
2.) c*(1-2a)=4
3.) c*b=-3
Das heißt F gehört zur Schar.
d) Wenn die Ebene parallel zu z-Achse sein soll,bedeutet dass doch dass sie keinen Schnitt mit der z-Achse haben darf.Also könnte man doch sagen,dass alle Ebenen mit b=0 parallel zur z-Achse sind und a ist wählbar oder?
e) Hier hab ich mir zuerst die Koordinaten von g aufgeschrieben,also x=1+r, y=2r, z=1-r und diese in [mm] E_{a,b} [/mm] eingesetzt.Dann bin ich am Ende auf das gekommen:
r*(3-4a-b)+b=1
Wie kann ich denn jetzt a und b rauskriegen,weil da gibt es doch bestimmt sehr viele Möglichekeiten,dass die Linke Seite =1 ist ???
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wieso wählst Du gerade $x \ = \ 2$ ? Nach einer konkreten Schnittgerade ist gar nicht gefragt.
Bestimme von beiden Ebenen den Normalenvektor. Sind diese beiden kollinear?
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Normalenvektoren?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 16.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Wieso wählst Du gerade [mm]x \ = \ 2[/mm] ? Nach einer konkreten
> Schnittgerade ist gar nicht gefragt.
>
> Bestimme von beiden Ebenen den Normalenvektor. Sind diese
> beiden kollinear?
Nein,die Normalenvektoren sind nicht kollinear,aber ihr Skalarprodukt ist 0.Das heißt die Ebenen sind orthgonal.
> Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden
> Normalenvektoren?
Unter einem Winkel von 90°.
Aber wäre das so falsch,wie ich das zuerst gerechnet hatte?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Prinzipiell ist es schon richtig, was Du machst. Allerdings hast Du es hier ohne weitere Begründung aufgeschrieben.
Durch Umformung erhält man:
$$E \ : \ 2*x+4*y-3*z \ = \ 4$$
$$E \ : \ 1*x+2*y-1{,}5*z \ = \ 2$$
Durch Koeffizientenvergleich erhält man eine eindeutige Lösung:
$$1-2a \ = \ 2 \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ a \ = \ -0{,}5$$
$$b \ = \ -1{,}5$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bestimme zwei beliebige Punkte der Geraden und setze diese in die Ebenengleichung ein.
Damit erhältst Du ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten $a_$ und $b_$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> d) Wenn die Ebene parallel zu z-Achse sein soll,bedeutet
> dass doch dass sie keinen Schnitt mit der z-Achse haben
> darf.Also könnte man doch sagen,dass alle Ebenen mit b=0
> parallel zur z-Achse sind und a ist wählbar oder?
Ja, das stimmt so. Aber wie bist Du darauf gekommen?
Weise nach, für welche Parameter der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf die z-Achse steht:
[mm] $$\vektor{1\\1-2a\\b}*\vektor{0\\0\\1} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wähle Dir 3 beliebige Ebenen und bestimme daraus (mind.) 2 Schnittgeraden.
Der Schnittpunkt dieser Geraden ergibt den gesuchten Punkt. Die entsprechenden Punktkoordinaten anschließend in die Ebenengleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank Loddar!
Also ich hab mir jetzt drei Ebenen ausgesucht:
[mm] E_{0,1}:x+y+z=2, E_{1,0}:x-y=2, E_{1,1}:x-y+z=2
[/mm]
Jetzt bestimme ich zuerst die Schnittgerade von [mm] E_{0,1} [/mm] und [mm] E_{1,0}.
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht genau,wie ich die Schnittgerade bestimmen soll,weil so wie ich das oben im Post gemacht habe,hast du ja gemeint,das wär falsch,aber so hatten wir das in der Schule gelernt:Ich hab ja ein unterbestimmtes LGS,das heißt ich kann mir einen Wert für ein Variable aussuchen,z.B. rechne ich [mm] E_{0,1}-E_{1,0} [/mm] und hab dann: z=-2y.
Jetzt kann ich mir einen Wert für z aussuchen,ich hab z=1 genommen und setze den in die Ebenengleichung,somit habe ich einen Punkt P(1/-0.5/1.5).Jetzt wähle ich noch einen Wert für z,z.B. z=0.5 und habe den Punkt Q(0.5/-0.25/1.75).Mit diesen beiden Punkten kann ich meine Schnittgerade bestimmen.Kann man das nun so machen oder nicht?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 17.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank Loddar!
>
> Also ich hab mir jetzt drei Ebenen ausgesucht:
>
> [mm]E_{0,1}:x+y+z=2, E_{1,0}:x-y=2, E_{1,1}:x-y+z=2[/mm]
Hallo,
Die letzten beiden Ebenengleichungen unterscheiden sich nur im vorhandenen oder fehlenden z.
Wenn beide Gleichungen gelten, dann MUSS z=0 gelten.
Wenn man unter dieser Bedingung die ersten beiden Ebenen vergleicht, muss x+y das selbe wie x-y ergeben, also ist auch y=0.
Dann ist x (in allen 3 Gleichungen) gleich 2.
Der Punkt (2|0|0) liegt also in allen 3 Ebenen (und damit auch in den Schnittgeraden von jeweils 2 der 3 Ebenen)
>
> Jetzt bestimme ich zuerst die Schnittgerade von [mm]E_{0,1}[/mm] und
> [mm]E_{1,0}.[/mm]
> Ich weiß jetzt nicht genau,wie ich die Schnittgerade
> bestimmen soll,weil so wie ich das oben im Post gemacht
> habe,hast du ja gemeint,das wär falsch,aber so hatten wir
> das in der Schule gelernt:Ich hab ja ein unterbestimmtes
> LGS,das heißt ich kann mir einen Wert für ein Variable
> aussuchen,z.B. rechne ich [mm]E_{0,1}-E_{1,0}[/mm] und hab dann:
> z=-2y.
Das würde mit y=z=0 vereinbar sein.
>
> Jetzt kann ich mir einen Wert für z aussuchen,ich hab z=1
> genommen und setze den in die Ebenengleichung,
> somit habe ich einen Punkt P(1/-0.5/1.5).
Hast du nicht. Du hast einen Punkt P(...|-0,5|1), denn schließlich hast du z=1 und nicht x=1 gesetzt.
Gruß Abakus
> .... Wert für z,z.B. z=0.5 und habe den Punkt
> Q(0.5/-0.25/1.75).Mit diesen beiden Punkten kann ich meine
> Schnittgerade bestimmen.Kann man das nun so machen oder
> nicht?
> Vielen Dank
>
> lg
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
