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| Aufgabe | Aufgabe 1)
Geben sie zwei verschiedene Parametergleichungen für die Ebene durch
A(2/0/3) , B(8/3/14), C(1/3/5) an.
Bisheriger Lösungsversuch:
1. Parameterdarstellung
E:x= a vektor + r * (b vektor - a vektor)
+ s * (c vektor - a vektor)
2. Parameterdarstellung
E:x= b vektor + r * (a vektor - b vektor)
+ s * (c vektor - b vektor)
stimmt mein Lösungsanstatz?
Anmerkung: mit a- bzw. b- und c vektor mein ich die jeweiligen Ortsvektoren der Punkte A, B, C
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Aufgabe 2
Untersuche ob die vier Punkte in einer Ebene liegen:
A(0/1-1), B(2/3/5), C(-1/3/-1), D(2/2/2).
Ich habe leider keinen eigenen Lösungsvorschlag, da ich es einfach nicht verstehe und Hilfe bei dieser Aufgabe brauche. Ich weiss zwar wie ich mit 3 gegebenen Punkten eine Ebenengleichung definieren kann:
Z.B.
E:x= vektor a +r * (vektor b - vektor a) +s * (vektor c-
vektor a)
allderdings hab ich keine Ahnung wo ich in dieser Gleichung 4 Punkte unterbringen soll.
meine Idee:
Ich stelle mit den 4 Punkten 2 Ebenen auf und überprüfe dann ob diese identisch sind. Wenn ja lägen die 4 Punkte ja auf einer Ebene.
Ich bitte um Hilfe bei diesen Aufgaben. Ich sollte vielleicht noch Anmerken, dass unser Lehrer will, dass wir alles (soweit möglich) mit dem Gauß-Verfahren berechnen sollen.
Bedanke mich schon mal im Vorraus
Gruß Alexander
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Alexander,
> Aufgabe 1)
> Geben sie zwei verschiedene Parametergleichungen für die
> Ebene durch
> A(2/0/3) , B(8/3/14), C(1/3/5) an.
>
>
> Bisheriger Lösungsversuch:
> 1. Parameterdarstellung
> E:x= a vektor + r * (b vektor - a vektor)
> + s * (c vektor - a vektor)
>
> 2. Parameterdarstellung
> E:x= b vektor + r * (a vektor - b vektor)
> + s * (c vektor - b vektor)
>
>
> stimmt mein Lösungsanstatz?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja
>
> Aufgabe 2
>
> Untersuche ob die vier Punkte in einer Ebene liegen:
> A(0/1-1), B(2/3/5), C(-1/3/-1), D(2/2/2).
>
>
> Ich habe leider keinen eigenen Lösungsvorschlag, da ich es
> einfach nicht verstehe und Hilfe bei dieser Aufgabe
> brauche. Ich weiss zwar wie ich mit 3 gegebenen Punkten
> eine Ebenengleichung definieren kann:
> Z.B.
>
> E:x= vektor a +r * (vektor b - vektor a) +s * (vektor c-
> vektor a)
>
> allderdings hab ich keine Ahnung wo ich in dieser Gleichung
> 4 Punkte unterbringen soll.
na so: [mm] \overrightarrow{0A}+r*\overrightarrow{AB}+s*\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0D}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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Hi Herby,
möchte micht ganz herzlich für deine schnell Antwort bedanken! Du hast mir sehr weitergeholfen.
Habe aber doch noch eine Frage zur letzten Aufgabe.
Ich stelle die Gleichung also folgendermaßen um, wie du es mir angeraten hast: (v=vektor)
vd = va + r* (vb-va) + s* (vc-va)
soweit sogut. Doch wie muss ich jetzt weiter verfahren um herauszubekommen ob die Punkte auf einer Ebene liegen?
Meine Idee wäre:
Ich möchte das ganze mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Zuerst würde ich also die Gleichung folgendermaßen umstellen:
vd - va = r*(vb-va) + s* (vc-va)
dann würde ich die Vektoren gemäß den Koeffizienten r
und s in die Gauß-Tabelle eintragen und das Gauß-Verfahren
anwende. Nur...was müsste bei Gauß jetzt für ein Ergebniss herauskommen, damit die Punkte auf einer Ebene sind?
ein Schnittpunkt? oder eine komplette Nullzeile und somit unendlich viele Lösungen?
Wäre nett, wenn du mir diese fragen noch beantworten könntest
Und noch eine Andere Aufgabe:
"Stellen sie fest, ob die Punkte A,B,C,D,E,F auf einer
Ebene liegen"
Meine Herangehensweise:
vd = va + r*(vb-va) + s* (vc-va)
dann
ve = va + r*(vb-va) + s* (vc-va)
zuletzt
vf = va + r*(vb-va) + s* (vc-va)
Also genau der gleiche Vorgang wie bei den 4 Punkten, mit dem Unterschied, dass ich ebenen nicht nur den Vektor von Punkt D auf die linke Seite der Gleichung bringe, sondern erst Vektor von D, dann Vektor von F und dann Vektor von E.
Allerdings wäre dann ja das Problem, dass ich nie alle 6 Vekoren gleichzeitig in der Gleichung habe.
Aber eigentlich ist das ja egal oder?
Dennoch hätte ich eine andere Überlegung: mit den gegebenen 6 Punkten A-F könnte man doch 2 Ebenengleichungen aufstellen. Also:
1. Ebenengleichung
E:X = va + r*(vb-va) + s* (vc-va)
2.Ebenengleichung
E:X = vd + r*(ve-vd) + s* (vf-vd)
Diese Beiden Gleichungen dann gleichsetzen und mittels Gauß-Verfahren herausfinden ob sie identisch sind. Wenn ja würden alle 6 Punkte auf einer Ebene liegen.
Welche der beiden Herangehensweisen stimmt? Bzw. stimmt gar keine oder sogar beide?
Würde mich sehr auf eine baldige Antwort freuen
MfG
Alexander
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Hi, skybreather,
bei solchen Aufgaben nimmt man immer 3 Punkte, macht eine Ebenengleichung draus (geht nur dann schief, wenn zufällig alle drei bereits auf einer Geraden liegen), und setzt der Reihe nach die restlichen Punkte als Ortsvektoren für [mm] \vec{x} [/mm] ein:
Wahre Aussage => der jeweilige Punkt liegt in der Ebene;
falsche Aussage => der Punkt liegt nicht drin.
mfG!
Zwerglein
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Dankeschöne für die schnelle Antwort Zwerglein!
Nur noch mal um sicher zu gehen. Bei der Frage "liegen die Punkte A-F in einer Ebene?" muss ich folgendermaßen vorgehen.
1. Ich stelle mit 3 der 6 Punkten (z.B. A,B,C) eine
Ebenengleichung auf.
2. Die Punkte D,E,F setzte ich der Reihe nach anstelle des
X-Vektors auf die linke Seite der Gleichung und
mittels Gauß (z.B.) der Punkt auf der Ebenengleichung
liegt.
Sollte jetzt nur ein Punkt nicht auf der Ebenengleichung liegen lautet die Antwort zur Aufgabenstellung dennoch:
"Die Punkte A-F liegen nicht auf einer Ebene."
Sehe ich das richtig ?
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Hi, skybreather,
> Nur noch mal um sicher zu gehen. Bei der Frage "liegen die
> Punkte A-F in einer Ebene?" muss ich folgendermaßen
> vorgehen.
>
> 1. Ich stelle mit 3 der 6 Punkten (z.B. A,B,C) eine
> Ebenengleichung auf.
Ja!
> 2. Die Punkte D,E,F setzte ich der Reihe nach anstelle des
> X-Vektors auf die linke Seite der Gleichung und
> mittels Gauß (z.B.) der Punkt auf der Ebenengleichung
> liegt.
Kannst Du tun. Aber Gauß ist fast zu aufwändig: Du hast ja nur 2 Unbekannte, die Du aus 2 der 3 Gleichungen ausrechnest und in die 3. Gleichung einsetzt: wahr oder falsch?
> Sollte jetzt nur ein Punkt nicht auf der Ebenengleichung
> liegen lautet die Antwort zur Aufgabenstellung dennoch:
>
> "Die Punkte A-F liegen nicht auf einer Ebene."
Die Frage würde dann ganz genauso lauten! Lediglich Deine Antwort wäre:
"Die Punkte liegen NICHT alle in einer Ebene!"
mfG!
Zwerglein
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