Ebenenaufgabe (zur Normalform) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Sparrow |
| Aufgabe | Gegeben Punkt $P (2|0|6)$ und Ebene $E:\ [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] - 2 = 0$.
Bestimmen Sie ein Spiegelbild $P'$ von $P$ zur Ebene $E$. |
Ich weiß den Ansatz schon.
Ich habe von den Punkt P in einer anderen Teilaufgabe ein Lot auf die Ebene gefällt.
Dabei kam für den Schnittpunkt F das Ergebnis: (0|2|2) heraus.
Nun weiß ich dass, der Schnittpunkt F auf der Ebene liegt und an diesem Punkt wird P --> [mm] P^{'} [/mm] gespiegelt.
Sprich ich nehme als Aufhängepunkt F (0|2|2) und dann den Richtungsvektor [mm] \lambda \overrightarrow{PF}
[/mm]
Ich muss Richtungsvektor PF nehmen, da ja der Vektor nun in die andere Richtung geht.
Eigentlich ist nun die Aufgabe gelöst, da:
[mm] \overrightarrow{P^{'}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{F} [/mm] + [mm] \overrightarrow{PF}
[/mm]
Aber wie mache ich das nun???
So sieht die Gleichung aus:
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-2 \\ 2 \\ -4}
[/mm]
Ich brauche einen Punkt, soll ich Lamda =1 setzen und dann einfach den Punkt so ausrechnen? Bitte um Hilfe, es geht um mein Mathe Abi ... schreibe Klausur die Lebenswichtig ist!
Werden noch 2 Fragen im laufe des WOchenendes kommen,
danke für Hilfe
Sebastian
|
|
| |
|
Hallo Sparrow,
> 1.) Bestimmen sie ein Spiegelbild [mm]P^{'}[/mm] von P zur Ebene
> E.
> Gegeben Punkt P (2|0|6) und Ebene: E:x= [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] +
> [mm]2x_{3}[/mm] - 2 = 0
>
>
> Ich weiß den Ansatz schon.
>
> Ich habe von den Punkt P in einer anderen Teilaufgabe ein
> Lot auf die Ebene gefällt.
> Dabei kam für den Schnittpunkt F das Ergebnis: (0|2|2)
> heraus.
> Nun weiß ich dass, der Schnittpunkt F auf der Ebene liegt
> und an diesem Punkt wird P --> [mm]P^{'}[/mm] gespiegelt.
>
> Sprich ich nehme als Aufhängepunkt F (0|2|2) und dann den
> Richtungsvektor [mm]\lambda \overrightarrow{PF}[/mm]
>
> Ich muss Richtungsvektor PF nehmen, da ja der Vektor nun in
> die andere Richtung geht.
> Eigentlich ist nun die Aufgabe gelöst, da:
>
> [mm]\overrightarrow{P^{'}}[/mm] = [mm]\overrightarrow{F}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
>
> Aber wie mache ich das nun???
>
> So sieht die Gleichung aus:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-2 \\ 2 \\ -4}[/mm]
>
> Ich brauche einen Punkt, soll ich Lamda =1 setzen und dann
> einfach den Punkt so ausrechnen? Bitte um Hilfe, es geht um
> mein Mathe Abi ... schreibe Klausur die Lebenswichtig ist!
Nun den Punkt F hast Du ja auf der Ebene. Für diesen gilt:
[mm]
\begin{gathered}
P\; - \;2\;\overrightarrow n \; = \;F \hfill \\
\Leftrightarrow \;P\; = \;F\; + \;2\;\overrightarrow n \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
,wobei n der Normalenvektor der Ebene ist.
Für den gespiegelten Punkt gilt demnach:
[mm]P'\; = \;F\; - \;2\;\overrightarrow n [/mm]
, da dieser denselben Abstand zur Ebene haben muß wie der Punkt P.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
