Ebenen- und Geradenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 07.11.2006 | | Autor: | B-LaSh |
| Aufgabe | Gegeben seien die Ebenenschar
[mm] E_{a}:2ax_{1}+2ax_{2}+x_{3}-4a+7=0
[/mm]
und die Geradenschar
[mm] g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}
[/mm]
a)Gibt es Geraden aus [mm] g_{a}, [/mm] die zueinander parallel liegen, bzw deren Richtungsvektoren senkrecht stehen?
b) Für welche(s) a liegen [mm] g_{a} [/mm] und [mm] E_{a} [/mm] zueinander parallel?
c) Gibt es Geraden aus [mm] g_{a}, [/mm] die mit [mm] g_{-1} [/mm] einen Winkel von 60° einschließen?
d) Berechnen Sie den Abstand von [mm] g_{1} [/mm] und [mm] E_{1}
[/mm]
e) Bestimmen Sie eine Normalenform der Ebene F, die [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{-1} [/mm] enthält.
f) [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] besitzen die Schnittgerade h. Bestimmen Sie deren Gleichung und überprüfen Sie, ob h in allen Ebenen der Schar liegt. |
Soo, einen großen Teil habe ich gelöst und bin mir ansich auch sicher dass es richtig ist, nur ein paar Fragen habe ich dann doch.
zu a) parallel: Notwendige Bedingung wäre die lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren.
seien [mm] g_{m}\not=g_{n}
[/mm]
[mm] \vektor{m \\ -2 \\ m+1} [/mm] = [mm] r*\vektor{n \\ -2 \\ n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] m=rn
-2=r*(-2) [mm] \Rightarrow [/mm] r=1
m+1=r*(n+1) [mm] \Rightarrow [/mm] m+1=n+1
m=n
also gibt es keine parallelen Geraden aus [mm] g_{a}
[/mm]
senkrecht: [mm] \vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{b \\ -2 \\ b+1}=0
[/mm]
ab+4+ab+a+b+1=0
2ab+b=-5-a
[mm] b=-\bruch{5+a}{2a+1}
[/mm]
Es gibt Geraden deren Vektoren senkrecht stehen.
zu b)
[mm] E_{a}:2ax_{1}+2ax_{2}+x_{3}-4a+7=0
[/mm]
[mm] x_{3}=-2ax_{1}-2ax_{2}+4a-7
[/mm]
[mm] x_{1}=x_{1}+0+0
[/mm]
[mm] x_{2}=0+x_{2}+0
[/mm]
[mm] x_{3}=-2ax_{1}-2ax_{2}+4a-7
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 4a-7}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2a}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ -2a}
[/mm]
[mm] g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ -2a & -2a & -a-1 & -9+4a }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a & -2a²-a-1 & -9+2a }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2a²+3a-1 & -9 }
[/mm]
-2a²+3a-1=0 (damit ein Widerspruch entsteht)
[mm] (a-\bruch{3}{4})²=\bruch{1}{16}
[/mm]
a=1
[mm] a=\bruch{1}{2}
[/mm]
c)
hier hatte ich mein erstes Problem
[mm] g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}
[/mm]
[mm] g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] cos(60)=\bruch{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}| * |\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}
[/mm]
[mm] \wurzel{2a²+2a+5}*\wurzel{5}=2*|-a+4|
[/mm]
(2a²+2a+5)*5=4*(a²-8a+16)
6a²+42a=39
[mm] (a+\bruch{7}{2})²=\bruch{35}{4}
[/mm]
[mm] a=\bruch{\wurzel{35}-7}{2}
[/mm]
[mm] a=\bruch{-\wurzel{35}-7}{2}
[/mm]
aber diese Ergebnisse erfüllen die Probe nicht =(
d) war mein nächstes Problem, hier fehlt mir leider der ganze Ansatz, weil wir soweit ich weiß noch nie Abstände zwischen Geraden und Ebenen berechnet haben und ich auch im Buch nichts finde =(
e)
[mm] g_{1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
[mm] g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{a}: \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vektor{ -1 \\ -2 \\ 0}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}=\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
NF: [mm] [\vec{x}-\vektor{1 \\ 1 \\ 2}]*\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2}=0
[/mm]
f)
[mm] E_{0}:x_{3}+7=0
[/mm]
[mm] E_{1}:2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+3=0
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 2 \\ -7}+t*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{1}=t
[/mm]
[mm] x_{2}=2-t
[/mm]
[mm] x_{3}=-7
[/mm]
in [mm] E_{a} [/mm] einsetzen
2at-2at+4a-7-4a+7=0
0=0
h ist in allen Ebenen der Schar enthalten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 07.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo B-LaSh
ich habe mich nunr um dieses gekümmert:
> hier hatte ich mein erstes Problem
>
> [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
> [mm]g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]cos(60)=\bruch{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}| * |\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2a²+2a+5}*\wurzel{5}=2*|-a+4|[/mm]
> (2a²+2a+5)*5=4*(a²-8a+16)
> 6a²+42a=39
> [mm](a+\bruch{7}{2})²=\bruch{35}{4}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
[mm]a=\bruch{\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
>
> [mm]a=\bruch{-\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
[mm]a=\bruch{-\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
Prüfe, ich rechne nur ganz flott.
>
> aber diese Ergebnisse erfüllen die Probe nicht =(
>
> d) war mein nächstes Problem, hier fehlt mir leider der
> ganze Ansatz, weil wir soweit ich weiß noch nie Abstände
> zwischen Geraden und Ebenen berechnet haben und ich auch im
> Buch nichts finde =(
>
Abstand macht ja nur Sinn, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist. Dann aber kannst Du irgendeinen Punkt der Geraden nehmen und dessen Abstand von der Ebene bestimmen.
Wie das geht, steht hoffentlich im Buch.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 07.11.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Hallo B-LaSh
ich habe mich nunr um dieses gekümmert:
> hier hatte ich mein erstes Problem
>
> [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
> [mm]g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]cos(60)=\bruch{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}| * |\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2a²+2a+5}*\wurzel{5}=2*|-a+4|[/mm]
> (2a²+2a+5)*5=4*(a²-8a+16)
> 6a²+42a=39
> [mm](a+\bruch{7}{2})²=\bruch{35}{4}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
[mm]a=\bruch{\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
>
> [mm]a=\bruch{-\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
[mm]a=\bruch{-\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
Prüfe, ich rechne nur ganz flott.
daraus werd ich leider nicht schlau =(,
woher kommt denn auf einmal die [mm] \wurzel{75}? [/mm]
>
> aber diese Ergebnisse erfüllen die Probe nicht =(
>
> d) war mein nächstes Problem, hier fehlt mir leider der
> ganze Ansatz, weil wir soweit ich weiß noch nie Abstände
> zwischen Geraden und Ebenen berechnet haben und ich auch im
> Buch nichts finde =(
>
Abstand macht ja nur Sinn, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist. Dann aber kannst Du irgendeinen Punkt der Geraden nehmen und dessen Abstand von der Ebene bestimmen.
Wie das geht, steht hoffentlich im Buch.
oh, danke, damit klappts sicher =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo B-LaSh,
> Hallo B-LaSh
> ich habe mich nunr um dieses gekümmert:
>
> > hier hatte ich mein erstes Problem
> >
> > [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > [mm]cos(60)=\bruch{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}| * |\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}[/mm]
>
> >
> > [mm]\wurzel{2a²+2a+5}*\wurzel{5}=2*|-a+4|[/mm]
> > (2a²+2a+5)*5=4*(a²-8a+16)
> > 6a²+42a=39
> > [mm](a+\bruch{7}{2})²=\bruch{35}{4}[/mm]
>
> >
> > [mm]a=\bruch{\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
> [mm]a=\bruch{\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
>
> >
> > [mm]a=\bruch{-\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
> [mm]a=\bruch{-\wurzel{75}-7}{2}[/mm] ?
> Prüfe, ich rechne nur ganz flott.
>
> daraus werd ich leider nicht schlau =(,
> woher kommt denn auf einmal die [mm]\wurzel{75}?[/mm]
Du hast dich beim Lösen deiner Gleichung verrechnet:
$ 6a²+42a=39 $
$ [mm] \gdw a^2 [/mm] + 7a = [mm] \bruch{13}{2} [/mm] $
$ [mm] \gdw a^2 [/mm] + 7a + [mm] \bruch{49}{4} [/mm] = [mm] \bruch{13}{2} [/mm] + [mm] \bruch{49}{4} [/mm] $
Die rechte Seite ist gleich $ [mm] \bruch{75}{4} [/mm] $
Gruß
Sigrid
> >
> > aber diese Ergebnisse erfüllen die Probe nicht =(
> >
> > d) war mein nächstes Problem, hier fehlt mir leider der
> > ganze Ansatz, weil wir soweit ich weiß noch nie
> Abstände
> > zwischen Geraden und Ebenen berechnet haben und ich auch
> im
> > Buch nichts finde =(
> >
> Abstand macht ja nur Sinn, wenn die Gerade parallel zur
> Ebene ist. Dann aber kannst Du irgendeinen Punkt der
> Geraden nehmen und dessen Abstand von der Ebene bestimmen.
> Wie das geht, steht hoffentlich im Buch.
>
> oh, danke, damit klappts sicher =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo B-LaSh,
> Gegeben seien die Ebenenschar
>
> [mm]E_{a}:2ax_{1}+2ax_{2}+x_{3}-4a+7=0[/mm]
>
> und die Geradenschar
>
> [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
> a)Gibt es Geraden aus [mm]g_{a},[/mm] die zueinander parallel
> liegen, bzw deren Richtungsvektoren senkrecht stehen?
>
> b) Für welche(s) a liegen [mm]g_{a}[/mm] und [mm]E_{a}[/mm] zueinander
> parallel?
>
> c) Gibt es Geraden aus [mm]g_{a},[/mm] die mit [mm]g_{-1}[/mm] einen Winkel
> von 60° einschließen?
>
> d) Berechnen Sie den Abstand von [mm]g_{1}[/mm] und [mm]E_{1}[/mm]
>
> e) Bestimmen Sie eine Normalenform der Ebene F, die [mm]g_{1}[/mm]
> und [mm]g_{-1}[/mm] enthält.
>
> f) [mm]E_{0}[/mm] und [mm]E_{1}[/mm] besitzen die Schnittgerade h. Bestimmen
> Sie deren Gleichung und überprüfen Sie, ob h in allen
> Ebenen der Schar liegt.
> Soo, einen großen Teil habe ich gelöst und bin mir ansich
> auch sicher dass es richtig ist, nur ein paar Fragen habe
> ich dann doch.
>
> zu a) parallel: Notwendige Bedingung wäre die lineare
> Abhängigkeit der Richtungsvektoren.
>
> seien [mm]g_{m}\not=g_{n}[/mm]
>
> [mm]\vektor{m \\ -2 \\ m+1}[/mm] = [mm]r*\vektor{n \\ -2 \\ n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] m=rn
> -2=r*(-2) [mm]\Rightarrow[/mm] r=1
> m+1=r*(n+1)
> [mm]\Rightarrow[/mm] m+1=n+1
>
> m=n
> also gibt es keine parallelen Geraden aus [mm]g_{a}[/mm]
>
> senkrecht: [mm]\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{b \\ -2 \\ b+1}=0[/mm]
>
> ab+4+ab+a+b+1=0
> 2ab+b=-5-a
> [mm]b=-\bruch{5+a}{2a+1}[/mm]
>
> Es gibt Geraden deren Vektoren senkrecht stehen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> [mm]E_{a}:2ax_{1}+2ax_{2}+x_{3}-4a+7=0[/mm]
>
> [mm]x_{3}=-2ax_{1}-2ax_{2}+4a-7[/mm]
>
> [mm]x_{1}=x_{1}+0+0[/mm]
> [mm]x_{2}=0+x_{2}+0[/mm]
> [mm]x_{3}=-2ax_{1}-2ax_{2}+4a-7[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 4a-7}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2a}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ -2a}[/mm]
>
>
> [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ -2a & -2a & -a-1 & -9+4a }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a & -2a²-a-1 & -9+2a }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -a & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2a²+3a-1 & -9 }[/mm]
>
> -2a²+3a-1=0 (damit ein Widerspruch entsteht)
> [mm](a-\bruch{3}{4})²=\bruch{1}{16}[/mm]
>
> a=1
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]
Hier gibt es noch einen einfacheren Lösungsweg: Die Gerade ist parallel zu E. wenn der Richtungsvektor von g senkrecht auf dem Normalenvektor von E steht.
>
> c)
> hier hatte ich mein erstes Problem
>
> [mm]g_{a}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{a \\ -2 \\ a+1}[/mm]
>
> [mm]g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]cos(60)=\bruch{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}{|\vektor{a \\ -2 \\ a+1}| * |\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 }|}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2a²+2a+5}*\wurzel{5}=2*|-a+4|[/mm]
> (2a²+2a+5)*5=4*(a²-8a+16)
> 6a²+42a=39
> [mm](a+\bruch{7}{2})²=\bruch{35}{4}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{-\wurzel{35}-7}{2}[/mm]
>
> aber diese Ergebnisse erfüllen die Probe nicht =(
>
> d) war mein nächstes Problem, hier fehlt mir leider der
> ganze Ansatz, weil wir soweit ich weiß noch nie Abstände
> zwischen Geraden und Ebenen berechnet haben und ich auch im
> Buch nichts finde =(
>
> e)
> [mm]g_{1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]g_{-1}: \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]E_{a}: \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+r*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}*\vektor{ 1 \\ -2 \\ 2}=0[/mm]
> [mm]\vec{n}*\vektor{ -1 \\ -2 \\ 0}=0[/mm]
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> NF: [mm][\vec{x}-\vektor{1 \\ 1 \\ 2}]*\vektor{ -2 \\ 1 \\ 2}=0[/mm]
>
> f)
>
> [mm]E_{0}:x_{3}+7=0[/mm]
> [mm]E_{1}:2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+3=0[/mm]
>
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 2 \\ -7}+t*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=t[/mm]
> [mm]x_{2}=2-t[/mm]
> [mm]x_{3}=-7[/mm]
>
> in [mm]E_{a}[/mm] einsetzen
>
> 2at-2at+4a-7-4a+7=0
> 0=0
>
> h ist in allen Ebenen der Schar enthalten.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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