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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Ebene in Parameterform
Ebene in Parameterform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ebene in Parameterform: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 09.02.2005
Autor: Sue20

Gesucht ist eine Gleichung der Ebene in Parameterform, die durch folgende Angaben festgelegt ist:

E geht durch den Schnittpunkt der drei Ebenen 2x + y - z = 2, x - 3y + z = -1, x + y + z = 3 und verläuft parallel zur Ebene x + 2y + z = 0.

Den Schnittpunkt der drei Ebenen hab ich mittels Gauß-Verfahren berechnet und kam auf: S = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] d.h. der Ortsvektor der gesuchten Ebene entspricht diesem Schnittpunkt

E: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] t\vektor{ \\ \\ } [/mm] + [mm] s\vektor{ \\ \\ } [/mm]

Nun weiß ich nicht, wie ich mit dem Normalenvektor der letzten gegebenen Ebene  [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] auf die beiden Richtungsvektoren der gesuchten Ebene komme.

Lösung ist: E: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] t\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] s\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm]

Wer kann mir weiterhelfen?

MfG Sue
        
Bezug
Ebene in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mi 09.02.2005
Autor: Paulus

Liebe Sue

>  
> E geht durch den Schnittpunkt der drei Ebenen 2x + y - z =
> 2, x - 3y + z = -1, x + y + z = 3 und verläuft parallel zur
> Ebene x + 2y + z = 0.
>  
> Den Schnittpunkt der drei Ebenen hab ich mittels
> Gauß-Verfahren berechnet und kam auf: S = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1},[/mm]
> d.h. der Ortsvektor der gesuchten Ebene entspricht diesem
> Schnittpunkt
>  

[ok] Das scheint zu stimmen, denn die Koordinaten von S erfüllen alle 3 Ebenengleichungen.

> E: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]t\vektor{ \\ \\ }[/mm] + [mm]s\vektor{ \\ \\ } [/mm]
>  
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich mit dem Normalenvektor der
> letzten gegebenen Ebene  [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] auf
> die beiden Richtungsvektoren der gesuchten Ebene komme.
>  

Da kann man einfach irgendwelche 2 Richtungsvektoren bestimmen. Am einfachsten ist es, wenn man für den einen Vektor $y=1_$ und $z=0_$ wählt. Das setzt du einfach in der Ebenengleichung ein und ermittelst das Zugehörige  $x_$:
$x+2y+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+2+0=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-2$

Ein Richtungsvektor ist also [mm] $\vektor{-2\\1\\0}$ [/mm]

Das selbe Spiel lässt sich machen, indem man $y=0_$ und $z=1_$ setzt, und nach $x_$ auflöst:

$x+2y+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+0+1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-1$

Ein anderer Richtungsvektor ist also [mm] $\vektor{-1\\0\\1}$ [/mm]

Womit sich als Ebenengleichung ergibt:

[mm] $\vektor{1\\1\\1}+t\vektor{-2\\1\\0}+s\vektor{-1\\0\\1}$ [/mm]

> Lösung ist: E: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]t\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> + [mm]s\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm]


Meine Lösung und deine Musterlösung stellen die selbe Ebene, nämlich

$x+2y+z=4_$ :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
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