Ebene in Achsenabschnittsform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Wir sollen eine Ebenengleichung in die Achsenabschnittsform überführen und ich hab leider keine Ahnung, wie das gehen soll...
E: r= (2/3/-4) + [mm] \alpha [/mm] (1/-1/2) + [mm] \beta [/mm] (-1/-2/3)
Herzlichen Dank für die Hilfe im Voraus!
Mfg
Heidschnucke
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Hey taura,
dankeschön für den Link, die Seite war sehr nützlich!!! Inzwischen hab ich auch mehr Durchblick... =)
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Hi, Heidschnucke,
> Wir sollen eine Ebenengleichung in die
> Achsenabschnittsform überführen und ich hab leider keine
> Ahnung, wie das gehen soll...
> E: r= (2/3/-4) + [mm]\alpha[/mm] (1/-1/2) + [mm]\beta[/mm] (-1/-2/3)
Zunächst verwandelst Du die Gleichung der Ebene in eine Normalenform (Koordinatenform).
Mögliches Ergebnis:
[mm] x_{1}-5x_{2}-3x_{3}+1 [/mm] = 0
Das Besondere an der Achsenabschnittsform ist nun, dass sie folgendes Aussehen hat: (dabei ist die 1 auf der rechten Seite wichtig!)
[mm] \bruch{x_{1}}{a} [/mm] + [mm] \bruch{x_{2}}{b} [/mm] + [mm] \bruch{x_{3}}{c} [/mm] = 1. (***)
Dabei sind a, b und c die Achsenabschnitte bzw. A(a;0;0), B(0;b;0) und C(0;0;c) die Punkte, in denen die Ebene die 3 Koordinatenachsen schneidet.
Zurück zu Deinem Beispiel:
(1) Konstante nach rechts: [mm] x_{1}-5x_{2}-3x_{3} [/mm] = -1
(2) Division durch die Zahl auf der rechten Seite:
[mm] -x_{1}+5x_{2}+3x_{3} [/mm] = 1.
(3) Das Ergebnis in der Form (***) schreiben:
[mm] \bruch{x_{1}}{-1} [/mm] + [mm] \bruch{x_{2}}{\bruch{1}{5}} [/mm] + [mm] \bruch{x_{3}}{\bruch{1}{3}} [/mm] = 1.
Achte dabei darauf, dass z.B. 5 = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{5}} [/mm] ist!
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Hi,
ganz herzlichen Dank für deine Rechnung, sie hat mir sehr geholfen!! Ich wusste gar nicht, dass es so einfach ist... =)
Sorry mit dem Korrektur lesen, das war so eigentlich nicht gemeint, hab mich verklickt...
Also, danke nochmal!!
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Sorry, ich hab noch ne Frage... =)
Wie bekommt man denn einen Normalenvektor zu der Gleichung (um dann die Winkel zu berechnen) und wie kann man dann die Gleichung in die allgemeine Normalenform umformen?
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Hi, Heidschnucke,
> Wie bekommt man denn einen Normalenvektor zu der Gleichung
Naja: Da gibt's mehrere Möglichkeiten!
Am besten geht's natürlich, wenn Du das "Vektorprodukt" kennst!
Dann kannst Du einen Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen.
In Deinem Beispiel: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} \times \vektor{-1 \\ -2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -5 \\ -3}
[/mm]
> und wie kann man dann die
> Gleichung in die allgemeine Normalenform umformen?
Mit Hilfe des Ansatzes: [mm] \vec{n} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] = 0
Bei Deinem Beispiel:
[mm] \vektor{1 \\ -5 \\ -3} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -4}) [/mm] = 0
mfG!
Zwerglein
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Hey Zwerglein,
dankeschön (!!) für die weitere Hilfe, so langsam kommt Licht ins Dunkel... =)
Mfg,
Heidschnucke
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