Ebene bestimmen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme alle Ebenen, die mit der Ebene E: 3X+4Z=0 die Punkte A (0;0;0) und B(4;0;-3) gemeinsam haben und E unter einem Winkel von 60° schneiden. |
Hallo Leute!
Habe bei dieser Aufgabe zwar einen Ansatz gefunden, doch irgendwie komm ich nicht weiter. Habe im Tafelwerk diese praktische Formel gefunden: [mm] cos\alpha=\bruch{ | \vec{m}*\vec{n} | }{m*n} [/mm] , wobei die Vektoren m und n Normalenvektoren der Ebenen sind. Ich habe das mir gegebene eingesetzt und nun komme ich hier nicht weiter: [mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\vektor{3\\0\\4}*\vec{n}}{5*n} [/mm] Mein Mathelehrer hat mir das Endergebnis gegeben, doch an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Danke im Vorraus!
Melanie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 06.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Strever123,
> Bestimme alle Ebenen, die mit der Ebene E: 3X+4Z=0 die
> Punkte A (0;0;0) und B(4;0;-3) gemeinsam haben und E unter
> einem Winkel von 60° schneiden.
> Hallo Leute!
> Habe bei dieser Aufgabe zwar einen Ansatz gefunden, doch
> irgendwie komm ich nicht weiter. Habe im Tafelwerk diese
> praktische Formel gefunden: [mm]cos\alpha=\bruch{ | \vec{m}*\vec{n} | }{m*n}[/mm]
> , wobei die Vektoren m und n Normalenvektoren der Ebenen
> sind. Ich habe das mir gegebene eingesetzt und nun komme
> ich hier nicht weiter:
> [mm]\bruch{1}{2}=\bruch{\vektor{3\\0\\4}*\vec{n}}{5*n}[/mm] Mein
> Mathelehrer hat mir das Endergebnis gegeben, doch an dieser
> Stelle komme ich nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Da der Ursprung in der Ebene liegt, hat ihre Gleichung die Form
$ a\ [mm] n_1 [/mm] + b\ [mm] n_2 [/mm] + c\ [mm] n_3 [/mm] = 0 $
Da der Punkt B(4,0;-3) in der Ebene liegt, gilt:
$ [mm] 4n_1 [/mm] - [mm] 3n_3 [/mm] = 0 $
Eine 2. Gleichung hast Du ja bereits selbst gefunden. Da Du eine Variable frei wählen kannst (Die Länge des Normalenvektors ist ja beliebig), reichen 2 Gleichungen für die Lösung.
Gruß
Sigrid
> Danke im Vorraus!
> Melanie
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Danke!
Klingt alles logisch, aber wie rechne ich das? In der einen Gleichung ist doch ein Vektor und eine zusätzliche Unbekannte n.
Melanie
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Hallo Streber123,
> Danke!
> Klingt alles logisch, aber wie rechne ich das? In der
> einen Gleichung ist doch ein Vektor und eine zusätzliche
> Unbekannte n.
Nun wir haben die 2 Gleichungen
[mm]\left(1\right) \ \bruch{1}{2}=\bruch{\pmat{3 \\ 0 \\ 4} \* \overrightarrow{n}}{5\vmat{\overrightarrow{n}}}[/mm]
[mm]\left(2\right) \ 4n_{1}-3n_{3}=0[/mm]
Um die Gleichung (1) zu vereinfachen, nehmen wir an:
[mm]\vmat{\overrightarrow{n}}=2[/mm]
Dann ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm]\left(1\right) \ \bruch{1}{2}=\bruch{\pmat{3 \\ 0 \\ 4} \* \overrightarrow{n}}{5*2}[/mm]
[mm]\gdw 5=\pmat{3 \\ 0 \\ 4} \* \overrightarrow{n}=3n_{1}+4n_{3}[/mm]
[mm]\left(2\right) \ 4n_{1}-3n_{3}=0[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen bekommst Du nun die Unbekannten [mm]n_{1}, \ n_{3}[/mm] heraus.
Die fehlende Unbekannte [mm]n_{2}[/mm] bekommst Du aus dieser Gleichung:
[mm]n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=2^{2}=4[/mm]
> Melanie
Gruß
MathePower
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