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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene E durch die Punkte A(1/2/2),B(2/2/0) und C(1/3/-1) sowie die Geradenschar [mm] g_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+t\cdot{}\vektor{a \\ 1 \\ 1}, a\in\IR.Bestimmen [/mm] Sie die Werte für a,für die gilt:
a) [mm] g_{a} [/mm] liegt in E.
b) [mm] g_{a} [/mm] und E schneiden sich
c) [mm] g_{a} [/mm] verläuft echt parallel zu E. |
Hallo zusammen^^
Beim lösen dieser Aufgabe sind bei mir einige Probleme aufgetaucht.ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Zunächst hab ich die Gleichung der Ebene aufgestellt:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ -3}.
[/mm]
a) Hier weiß ich eigentlich überhaupt nicht,wie ich vorgehen soll.Vielleicht muss der Richtungsvektor kollinear zu einem Richtungsvektor der Ebene sein?Ein kleiner Tipp genügt mir hier schon...
b) Hier hab ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ -3}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+t\cdot{}\vektor{a \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Das daraus resultirende Gleichungssystem hab ich versucht zu lösen und könnte s in Abhängigkeit von r darstellen.Dann hab ich dieses r oeben eingesetzt und hatte dann:
[mm] \vektor{1 \\ 1.5 \\ 3.5}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -0.5 \\ -0.5}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+t\cdot{}\vektor{a \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
1.) 1+r=2+ta
2.) 1.5-0.5r=1+t
3.) 3.5-0.5r=3+t
Das System lässt sich aber nicht lösen,ich komme zwar euf eine Wahre Aussage,wie z.B. -2=-2.Das heißt,dass sie sich schneiden,aber ich weiß nicht wie ich mein a bestimmen kann.Oder schneiden sie sich für alle a?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 13.03.2009 | | Autor: | weduwe |
die ebene in koordinatenform lautet:
[mm]2x+3y+z-10=0[/mm]
durch einsetzen des stütz/aufpunktes P von g sieht man , dass P(2/1/3) in E liegt.
daher
a) das kannst du über das skalarprodukt berechnen
normalenvektor von E und richtungsvektor von g stehen senkrecht aufeinander.
[mm] \vektor{a\\1\\1}\cdot\vektor{2\\3\\1}=0\to [/mm] a=-2
b) folfgt direkt aus a) für alle [mm]a\neq -2[/mm]
c) da P in E .......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.
> die ebene in koordinatenform lautet:
> [mm]2x+3y+z-10=0[/mm]
>
> durch einsetzen des stütz/aufpunktes P von g sieht man ,
> dass P(2/1/3) in E liegt.
>
> daher
> a) das kannst du über das skalarprodukt berechnen
> normalenvektor von E und richtungsvektor von g stehen
> senkrecht aufeinander.
>
> [mm]\vektor{a\\1\\1}\cdot\vektor{2\\3\\1}=0\to[/mm] a=-2
Das Skalarprodukt hatten wir nicht und Normalenvektoren auch nicht.Kann man das nicht anders machen?
> b) folfgt direkt aus a) für alle [mm]a\neq -2[/mm]
Dann müsste ich b) auch anders lösen.
> c) da P in E .......
Also bei c) hab ich mal die Werte der Gleichung,also x=2+ta, y=1+t und z=3+t in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt und bin am Ende auf ta+t=0 gekommen.Damit g jetzt echt parallel verläuft,muss doch [mm] a\not=-t [/mm] sein oder?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Fr 13.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok,vielen Dank.
> > die ebene in koordinatenform lautet:
> > [mm]2x+3y+z-10=0[/mm]
> >
> > durch einsetzen des stütz/aufpunktes P von g sieht man ,
> > dass P(2/1/3) in E liegt.
> >
> > daher
> > a) das kannst du über das skalarprodukt berechnen
> > normalenvektor von E und richtungsvektor von g stehen
> > senkrecht aufeinander.
> >
> > [mm]\vektor{a\\1\\1}\cdot\vektor{2\\3\\1}=0\to[/mm] a=-2
>
> Das Skalarprodukt hatten wir nicht und Normalenvektoren
> auch nicht.Kann man das nicht anders machen?
Kann man. Da P [mm] \in [/mm] E, muss der Richtungsvektor [mm] u=\vektor{a\\1\\1} [/mm] als Linearkombination der Spannvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] darstellbar sein, damit die Gearde komplett in E liegt.
Also
[mm] \vec{0}=t*\vektor{a\\1\\1}+r*\vektor{1\\0\\-2}+s*\vektor{0\\1\\-3}
[/mm]
Das ergibt folgendes LGS:
[mm] \vmat{at+r=0\\t+s=0\\t-2r-3s=0}
[/mm]
Jetzt untersuche die Lösbarkeit dieses LGS mal in Abhängigkeit von a
>
> > b) folfgt direkt aus a) für alle [mm]a\neq -2[/mm]
>
> Dann müsste ich b) auch anders lösen.
>
> > c) da P in E .......
>
> Also bei c) hab ich mal die Werte der Gleichung,also
> x=2+ta, y=1+t und z=3+t in die Koordinatenform der Ebene
> eingesetzt und bin am Ende auf ta+t=0 gekommen.Damit g
> jetzt echt parallel verläuft,muss doch [mm]a\not=-t[/mm] sein oder?
Nicht ganz:
ta+t=0
[mm] \gdw [/mm] t(a+1)=0
[mm] \Rigtarrow [/mm] ...
>
> lg
>
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 13.03.2009 | | Autor: | weduwe |
ich erhalte [mm]2at + 4t =0\to t(a+2)=0[/mm]
(*) [mm]t(a+2)=0[/mm] heißt doch:
1) t = 0 ist lösung, das wissen wir, denn P liegt in E und auf g, ist also schnittpunkt
2) a = - 2 ist lösung für alle t, das wissen wir auch schon (teil b).
(lösung bedeutet g und E haben (mindestens) einen schnittpunkt)
zu c) da P gemeinsamer punkt von E und g ist, kann es keine zu E echt parallele gerade geben, was ja auch aus (*) folgt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ich glaub ich habs verstande.Vielen Dank =)
lg
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