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Forum "Geraden und Ebenen" - Ebene Abstand Ursprung
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Ebene Abstand Ursprung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Do 26.10.2006
Autor: Oskar1941

Aufgabe
Bestimme die Gleichung einer Ebene die die Punkte A(2,3,4) und B(6,5,16)  enthält und einen Abstand 2 vom Koordinatenursprung hat.


Es müsste zwei Ebenen (Lösungen) geben. Um den Abstand zu verwenden wollte ich die Hessesche Normalenform bestimmen. Leider habe ich keine Idee ,wie ich aus den gegebenen Punkten ein GS aufstellen kann um Normalenvektor zu bestimmen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ebene Abstand Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Do 26.10.2006
Autor: M.Rex

Hallo
und[willkommenmr]

Schreib dir zuerst doch mal die Ebebe in Normalenform auf.

Also:

E: [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vec{x}=d [/mm]

Hierfür hast du jetzt drei Bedingungen.

1) [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{2\\3\\4}=d [/mm]
2) [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{6\\5\\16}=d [/mm]
3) [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\overrightarrow{AB} [/mm]
das heisst,  [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{4\\2\\12}=0 [/mm]

Die vierte Bedingung findest du []hier.
Auf deine Aufgabe transferiert heisst das:

[mm] \overrightarrow{XO}=\bruch{\overrightarrow{AO}*\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}}{|\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}|}*\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}} [/mm]
Und die Länge von  [mm] \overrightarrow{XO} [/mm] soll 2 sein
Also [mm] 2=\underbrace{|\bruch{\vektor{2\\3\\4}*\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}}{|\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}|²}*\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}|}_{das ist ein Vektor} [/mm]
[mm] \gdw2=|\bruch{2n_{1}+3n_{2}+4n_{3}}{n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²}*\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}| [/mm]
[mm] \gdw2*\bruch{n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²}{2n_{1}+3n_{2}+4n_{3}}=|\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}| [/mm]
[mm] \gdw2*\bruch{n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²}{2n_{1}+3n_{2}+4n_{3}}=\wurzel{n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²} [/mm]
[mm] \gdw2*\bruch{\wurzel{(n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²)³}}{2n_{1}+3n_{2}+4n_{3}}=n_{1}²+n_{2}²+n_{3}² [/mm]
[mm] \gdw\wurzel{(n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²)³}=(n_{1}+\bruch{3}{2}n_{2}+2n_{3})*(n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²) [/mm]
[mm] \gdw(n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²)³=(n_{1}+\bruch{3}{2}n_{2}+2n_{3})²*(n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²)² [/mm]
[mm] \gdw n_{1}²+n_{2}²+n_{3}²=(n_{1}+\bruch{3}{2}n_{2}+2n_{3})² [/mm]

Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet.
  
Jetzt hast du vier Bedingungen für die Vier Variablen [mm] n_{1}, n_{2}, n_{3} [/mm] und d deiner Normalenform.
Also kannst du jetzt ein LGS aufstellen, um diese zu berechnen.

Evtl. habe ich jetzt irgendwas übersehen, aber der Weg sollte funktionieren. Deswegen lasse ich die Frage mal auf Teilweise Beantwortet.

Marius

Bezug
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