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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 17.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben sei die Ebene [mm] \pi [/mm] welche durch die Punkte A(-1,1,0), B(0,1,1) und C(2,0,1) verläuft. Es sei r die Gerade welche durch den Ursprung verläuft und orthogonal auf [mm] \pi [/mm] ist.
a) Finden sie die parametrisierte Form von r
b) Finden sie die Koordinaten des Punktes P, Schnittpunkt von r mit [mm] \pi
[/mm]
c) Abstand von P zum Ursprung
d) Finden sie die Formel für die 2 Ebenen welche r als gemeinsame Schnittgerade haben |
Hallo alle zusammen!
Eigentlich eine sehr simple Aufgabe, jedoch steckt irgendwo ein Fehler drinnen in meiner Berechnung. Hier mein Rechenweg:
a) Zuerst brauche ich [mm] \pi, [/mm] ich habe 3 Punkte und somit kann ich mir 2 auf der Ebene liegende Vektoren ausrechnen, ich wähle:
A-C=(3,-1,1) und A-B(1,0,1)
somit:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
woraus:
x=3*t +s
y=1-t+0s
z=1+t+s
woraus sich dann: x+2*y-z=1 ergibt. Nun ein orthogonaler Vektor darauf ist klar der Normalvektor mit (1,2,-1)
Und somit auch unsere Gerade r: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
b) Nun das ganze sollte eig. nicht so schwer sein, mir hatten unsere Ebene:
x=3*t +s
y=1-t+0s
z=1+t+s
oder:
Und unsere Gerade r:
x= t
y= 2t
z= -t
Die Schnittbedingung lautet dann: [mm] x_r [/mm] = [mm] x_\pi [/mm] usw usw. und somit:
[mm] t_r=3*t_\pi [/mm] +s
[mm] 2t_r=1-t_\pi+0s
[/mm]
[mm] -t_r=1+t_\pi+s
[/mm]
welches lösbar ist mit:
[mm] t_r=1/6
[/mm]
[mm] t_\pi= [/mm] 2/3
s=11/6
was: x= [mm] t_r [/mm]
y= [mm] 2t_r [/mm]
z= [mm] -t_r
[/mm]
zu den Koordinaten bringt: P(1/6,1/3,-1/6)
c) [mm] \wurzel{1/6² + 1/3² + 1/6²} [/mm] = d
d) Also wir hatten die Gerade mit dem Richtungsvektor n(1,2,-1). Ich suche nun 2 Ebenen sodass:
Vektor 1 x Vektor 2 = n ergeben.
wobei Vektor 1 / 2 die Normalvektoren der beiden Ebenen sein sollen. Dadurch, dass meine Gerade durch den Punkt (0,0,0) verläuft, müssen die Ebenen zwangsweise den Punkt (0,0,0) beinhalten.
Aufgrund, dass die Ebenen die Gerade beinhalten müssen, müssen sie auch den Richtungsvektor der Geraden beinhalten, und somit fehlt nur noch 1 Vektor für die jeweilige Ebene.
[mm] E_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] * s *v1
[mm] E_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] k*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] * l*v2
Kann ich jetzt für v1 und v2 zB die Vektoren A-C und A-B verwenden?
[mm] E_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + s [mm] *\vektor{3 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] k*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] l*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich habs eben mit Derive gezeichnet und mir kommt vor, die beiden Ebenen sind irgendwie nicht im rechten Winkel auf die Ebene.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke
Lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 17.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Zuggel,
| Aufgabe | [...]
d) Finden sie die Formel für die 2 Ebenen welche r als gemeinsame Schnittgerade haben |
Wenn ich das Ende Deiner Ausführungen sehe, scheint mir, hier fehlt noch: "...und die orthogonal auf [mm] $\pi$ [/mm] stehen."?
[...]
> welches lösbar ist mit:
>
> [mm]t_r=1/6[/mm]
> [mm]t_\pi=[/mm] 2/3
> s=11/6
hier bekomme ich [mm] $s=-\frac{11}{6}$, [/mm] aber das ist für die weitere Rechnung bedeutungslos.
Ansonsten erscheinen mir a) - c) korrekt.
> d) Also wir hatten die Gerade mit dem Richtungsvektor
> n(1,2,-1). Ich suche nun 2 Ebenen sodass:
>
> Vektor 1 x Vektor 2 = n ergeben.
> wobei Vektor 1 / 2 die Normalvektoren der beiden Ebenen sein sollen.
Was Du in der weiteren Rechnung nicht mehr aufgreifst (was mir aber auch nicht nötig erscheint).
> Aufgrund, dass die Ebenen die Gerade beinhalten müssen,
> müssen sie auch den Richtungsvektor der Geraden beinhalten,
Und dadurch stehen sie automatisch senkrecht auf Ebene [mm] $\pi$.
[/mm]
> und somit fehlt nur noch 1 Vektor für die jeweilige Ebene.
>
> [mm]E_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} \red{+} s *v1[/mm]
> [mm]E_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+k*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} \red{+} l*v2[/mm]
>
> Kann ich jetzt für v1 und v2 zB die Vektoren A-C und A-B
> verwenden?
Ja.
Im übrigen gibt es natürlich unendlich viele Ebenen, die die Bedingung(en) aus Aufgabe d) erfüllen.
> [mm]E_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+ s *\vektor{3 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> [mm]E_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+ k*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm] + [mm]l*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Ich habs eben mit Derive gezeichnet und mir kommt vor, die
> beiden Ebenen sind irgendwie nicht im rechten Winkel auf
> die Ebene.
Für jede dieser beiden Ebenen ergibt das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einen Vektor, der senkrecht auf [mm] $\vec [/mm] n$ steht. Also stehen beide Ebenen senkrecht zu [mm] $\pi$.
[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> >
> > Kann ich jetzt für v1 und v2 zB die Vektoren A-C und A-B
> > verwenden?
>
> Ja.
> Im übrigen gibt es natürlich unendlich viele Ebenen, die
> die Bedingung(en) aus Aufgabe d) erfüllen.
>
> > [mm]E_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+ s *\vektor{3 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> > [mm]E_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+ k*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm] +
> [mm]l*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> >
> > Ich habs eben mit Derive gezeichnet und mir kommt vor, die
> > beiden Ebenen sind irgendwie nicht im rechten Winkel auf
> > die Ebene.
>
> Für jede dieser beiden Ebenen ergibt das Kreuzprodukt der
> Richtungsvektoren einen Vektor, der senkrecht auf [mm]\vec n[/mm]
> steht. Also stehen beide Ebenen senkrecht zu [mm]\pi[/mm].
Senkrecht auf n und senkrecht auf [mm] \pi? [/mm] Meinstest du hier parallel zu n und senkrecht auf [mm] \pi, [/mm] oder?
Dankeschön
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 18.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Zuggel,
> > Für jede dieser beiden Ebenen ergibt das Kreuzprodukt der
> > Richtungsvektoren einen Vektor, der senkrecht auf [mm]\vec n[/mm]
> > steht. Also stehen beide Ebenen senkrecht zu [mm]\pi[/mm].
>
> Senkrecht auf n und senkrecht auf [mm]\pi?[/mm] Meinstest du hier
> parallel zu n und senkrecht auf [mm]\pi,[/mm] oder?
Nein, ich meinte das so, wie oben geschrieben.
Tut mir leid, dass ich das etwas knapp und unerläutert gehalten hatte.
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren einer Ebene ergibt ja einen Vektor, der senkrecht zu diesen Vektoren, somit senkrecht zu der Ebene steht. Es ist also ein Normalenvektor dieser Ebene.
Wenn dieser Normalenvektor senkrecht zum Normalenvektor (hier: [mm] $\vec [/mm] n$) einer anderen Ebene (hier: [mm] $\pi$) [/mm] steht, stehen diese beiden Ebenen senkrecht zueinander.
Schöne Grüße
ardik
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