Ebene-Welle-Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Ebene-Wellen-Lösung nach D'Alembert: Mit c [mm] \not= [/mm] 0 wird die Wellengleichung [mm] \bruch{\partial^2u}{\partial x^2}-\bruch{1}{c^2}\bruch{\partial^2u}{\partial t^2}=0 [/mm] durch u(x,t)=f(x+ct) und u(x,t)=g(x-ct) für beliebige und zweimal differenzierbare Funktionen f oder g gelöst. Bestimmen Sie die Lösung u mit den Anfangsbedingungen [mm] u(x,0)=x^2+x, \bruch{\partial u}{\partial t}(x,0)=c(2x-1), [/mm] indem Sie den Ansatz u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct) verwenden und geeignete Funktionen f,g auffinden.
Hinweis; Sie bekommen zwei Gleichungen in f,f',g,g'. Man kann das Einsetzungsverfahren mit großem Gewinn verwenden. |
Hallo,
bei der Aufgabe weiß ich nicht wie ich anfangen soll :/ also wahrscheinlich gehts mit dem Ansatz los, der schon vorgegeben ist xD
Wie soll man denn daraus jetzt geeignete Funktionen f und g finden?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ebene-Wellen-Lösung nach D'Alembert: Mit c [mm]\not=[/mm] 0 wird
> die Wellengleichung [mm]\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}-\bruch{1}{c^2}\bruch{\partial^2u}{\partial t^2}=0[/mm]
> durch u(x,t)=f(x+ct) und u(x,t)=g(x-ct) für beliebige und
> zweimal differenzierbare Funktionen f oder g gelöst.
> Bestimmen Sie die Lösung u mit den Anfangsbedingungen
> [mm]u(x,0)=x^2+x, \bruch{\partial u}{\partial t}(x,0)=c(2x-1),[/mm]
> indem Sie den Ansatz u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct) verwenden und
> geeignete Funktionen f,g auffinden.
> Hinweis; Sie bekommen zwei Gleichungen in f,f',g,g'. Man
> kann das Einsetzungsverfahren mit großem Gewinn
> verwenden.
> Hallo,
> bei der Aufgabe weiß ich nicht wie ich anfangen soll :/
> also wahrscheinlich gehts mit dem Ansatz los, der schon
> vorgegeben ist xD
> Wie soll man denn daraus jetzt geeignete Funktionen f und
> g finden?
Stelle erstmal die Bedingungsgleichungen auf,
die den Anfangsbedingungen genügen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Meinst du so:
1) [mm] u(x,0)=f(x)+g(x)=x^2+x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}=f(x+c)+g(x-c)
[/mm]
[mm] 2)\bruch{\partial u}{\partial t}(x,0)=f(x+c)+g(x-c)=c(2x-1)
[/mm]
Gruß David
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Hallo David90,
> Meinst du so:
> 1) [mm]u(x,0)=f(x)+g(x)=x^2+x[/mm]
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}=f(x+c)+g(x-c)[/mm]
>
> [mm]2)\bruch{\partial u}{\partial t}(x,0)=f(x+c)+g(x-c)=c(2x-1)[/mm]
>
Die zweite Gleichung muss doch so lauten:
[mm]c*f'(x)-c*g'(x)=c(2x-1)[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Sorry, aber kann ich irgendwie nicht nachvollziehen :/ Kannst dus mir kurz erklären?
Gruß David
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Hallo David90,
> Sorry, aber kann ich irgendwie nicht nachvollziehen :/
> Kannst dus mir kurz erklären?
Es ist doch:
[mm]u\left(x,t\right)=f\left(x+c*t\right)+g\left(x-c*t\right)[/mm]
Dies wird jetzt partiell nach t differenziert.
Dazu wird die Kettenregel angewendet:
[mm]\bruch{\partial u}{\partial t}=\bruch{df}{d\left(x+c*t\right)}*\bruch{\partial \left(x+c*t\right)}{\partial t}+\bruch{dg}{d\left(x-c*t\right)}*\bruch{\partial \left(x-c*t\right)}{\partial t}=\bruch{df}{d\left(x+c*t\right)}*c+\bruch{dg}{d\left(x-c*t\right)}*\left(-c\right)[/mm]
An der Stelle (x,0) ergibt sich somit:
[mm]u_{t}\left(x,0\right)=\bruch{df}{dx}*c+\bruch{dg}{dx}*\left(-c\right)=f'\left(x\right)*c+g'\left(x\right)*\left(-c\right)[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso klar verstehe:)
Jetzt haben wir 2 bedingungen und was machen wir jetzt damit?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso klar verstehe:)
> Jetzt haben wir 2 bedingungen und was machen wir jetzt
> damit
Aus den beiden Gleichungen sind f und g zu bestimmen.
Mit dem Einsetzungsverfahren erhältst Du eine DGL.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso versteh schon, also hab jetzt die erste nach f(x) umgestellt:
[mm] f(x)=x^2+x-g(x), [/mm] dann hab ich sie abgeleitet:
f'(x)=2x+1-g'(x) und dann in die zweite eingesetzt;
2cx+c-cg'(x)=2cx-c alles durch c geteilt und nach g'(x) umgestellt:
g'(x)=2, also ist g(x)=2x...kommt jetzt noch eine konstante dazu? Weil wenn nicht dann ergibt sich: f(x)=x(x-1)
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso versteh schon, also hab jetzt die erste nach f(x)
> umgestellt:
> [mm]f(x)=x^2+x-g(x),[/mm] dann hab ich sie abgeleitet:
> f'(x)=2x+1-g'(x) und dann in die zweite eingesetzt;
> 2cx+c-cg'(x)=2cx-c alles durch c geteilt und nach g'(x)
Die Gleichung ist nicht ganz richtig:
[mm]2cx+c\blue{-c*g'\left(x\right)}-cg'(x)=2cx-c[/mm]
> umgestellt:
> g'(x)=2, also ist g(x)=2x...kommt jetzt noch eine
> konstante dazu? Weil wenn nicht dann ergibt sich:
> f(x)=x(x-1)
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso ja klar hab ich hier auch aufgeschrieben, nur vergessen es hier zu nennen xD Es kommt dann raus für g'(x)=1 und für g(x)=x oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso ja klar hab ich hier auch aufgeschrieben, nur
> vergessen es hier zu nennen xD Es kommt dann raus für
> g'(x)=1 und für g(x)=x oder?
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
ok und dann ist [mm] f(x)=x^2 [/mm] oder?:)
Und was macht man mit den beiden Funktionen?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok und dann ist [mm]f(x)=x^2[/mm] oder?:)
Ja.
> Und was macht man mit den beiden Funktionen?
Setze dann die ursprünglichen Argumente von f und g ein,
addiere sie, und Du erhältst die Lösun [mm]u\left(x,t\riight)[/mm].
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also wenn gilt [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=x, dann ist doch [mm] u(x,t)=(x+ct)^2+x-ct [/mm] oder? Das muss ich dann nur in die Wellengleichung einsetzen (entsprechend abgeleitet) und die muss dann stimmen oder?:)
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also wenn gilt [mm]f(x)=x^2[/mm] und g(x)=x, dann ist doch
> [mm]u(x,t)=(x+ct)^2+x-ct[/mm] oder? Das muss ich dann nur in die
> Wellengleichung einsetzen (entsprechend abgeleitet) und die
> muss dann stimmen oder?:)
So isses.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Do 12.01.2012 | | Autor: | David90 |
So isses :D danke dir:)
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