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| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und V ein endlich dimensionaler [mm] \IK-Vektroraum. [/mm] Sei weiter [mm] \lambda_{i} \in \IK [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2} ein Eigenwert, der [mm] \IK-linearen [/mm] Abbildung [mm] f_{i}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) Dann ist [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] ein Eigenwert von [mm] f_{1} [/mm] + [mm] f_{2}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V.
b) Dann ist [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] \lambda_{1} [/mm] ein Eigenwert von [mm] f_{1} \circ f_{2}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V.
c) Die Abbildungen [mm] f_{1} \circ f_{2} [/mm] und [mm] f_{2} \circ f_{1} [/mm] haben dieselben Eigenwerte. |
Hallo!
a) und b) sind kein Problem: Ich habe da jeweils ein Gegenbeispiel.
Dh., dass c) wahr sein muss und man dies beweisen muss.
Doch wie macht man das?
Hat das was mit der Ähnlichkeit zu tun?
Grüßle und schon mal DANKE!
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Hi,
Idee: du hast die Abbildung [mm](g\circ f)(x)[/mm] einen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] uzum Eigenvektor x. Wende auf [mm](g\circ f)(x)[/mm] nocheinmal f an und nutze die Linearität aus.
Falls du nicht weiter kommst:
Sei [mm]\lambda\neq 0[/mm] ein Eigenwert von [mm](g\circ f)(x)[/mm], für einen Eigenvektor x ist dann[mm](g\circ f)(x)=\lambda*x[/mm]
Damit gilt aber:
[mm]f((g\circ f)(x))=f(\lambda x)=\lambda f(x)\Rightarrow[/mm] f(x) ist im Eigenraum von [mm]f\circ[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
Was heißt das jetzt für [mm]\lambda[/mm] in Bezug auf [mm]f\circ g)[/mm]?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke sehr! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Do 12.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Wenn du deine Lösung abgeben musst, dann hast du hoffentlich nicht den Fall [mm] $\lambda=0$ [/mm] vergessen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Di 17.05.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke für den Rat... leider zu spät gesehen :D
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