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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis eines Satzes innerhalb der Theorie der Verzweigungsprozesse.
Dort kommt die folgende Gleichung vor:
[mm] \[P(C_n)=\mathbb{E}[P(C_n|X,v)].\]
[/mm]
Wir haben in unserer Population zu Beginn eine Anzahl $X$ an Individuen in der 0-ten Generation und eines von diesen bezeichnen wir mit $v$. [mm] $C_n$ [/mm] ist jetzt das Ereignis, dass mindestens eins der Individuen links von $v$ Nachkommen in der $n$-ten Generation hat.
Mir ist zum einen nicht ganz klar, was der EW einer Wahrscheinlichkeit ausdrückt. Ist das quasi ein Schätzer für die WS, da wir diese nicht genau angeben können?
Und wie kommt obige Umformung zustande?
Vielen Dank für jeden Tipp!
Liebe Grüße,
GirlyMaths
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 22.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey ;),
also [mm] P(C_n|X,v)=E[1_{C_n}|X,v], [/mm] ist also ein bedingter Erwartungswert (eine Zufallsvariable,(bestmögliche Prognose für [mm] 1_{C_n}, [/mm] wenn X und v gegeben sind (so wäre zumindest es im Allgemeinen, mit Galton-Watson-Prozessen kenne ich mich nicht aus)
Wendest du auf beiden Seiten den Erwartungswert an, folgt mit den Regeln der bedingten Erwartung deine Behauptung.
LG
Fry
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Hey,
sag bloß, es ist einfach nur
[mm] \[\mathbb{E}[P(C_n|X,v)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[1_{C_n}|X,v]]=\mathbb{E}[1_{C_n}]=P(C_n),\]
[/mm]
wobei ich bei der vorletzten Umformung von der Definition des iterierten EW Gebrauch gemacht habe!?
Vielen Dank :)
GirlyMaths
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mi 23.09.2015 | | Autor: | Fry |
Huhu :)> Hey,
>
> sag bloß, es ist einfach nur
>
> [mm]\[\mathbb{E}[P(C_n|X,v)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[1_{C_n}|X,v]]=\mathbb{E}[1_{C_n}]=P(C_n),\][/mm]
>
> wobei ich bei der vorletzten Umformung von der Definition
> des iterierten EW Gebrauch gemacht habe!?
Ja, genau!
LG
Fry
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