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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Mi 02.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich komme an einem Schritt einfach nicht weiter und hoffe auf Hilfe.
Sei [mm] X\colon\Omega\to\IN_0 [/mm] eine ZV. Zu zeigen: [mm] E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}P(X>k).
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}P(X>k)=\sum_{k=1}^{\infty}P(X\ge k)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=k}^{\infty}P(X=l)
[/mm]
Jetzt habe ich probiert $P(X=k)$ als Reihe zu schreiben, aber damit komme ich auch nicht weiter.
Ich schätze, dass ich auf [mm] E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k*P(X=k) [/mm] kommen muss, aber von der Seite aus komme ich auch nicht auf die andere Seite.
Dann gibt es noch die Frage: Was ist an diesem Satz so faszinierend?
Meine Antwort: Wir benötigen [mm] $X\in\mathcal L^1$ [/mm] nicht als Voraussetzung. Richtig?
Vielen Dank!
Viele Grüße, James.
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Hiho,
vorweg erstmal das schnelle:
> Meine Antwort: Wir benötigen [mm]X\in\mathcal L^1[/mm] nicht als Voraussetzung. Richtig?
Das benötigst du immer. Der Erwartungswert existiert doch gerade genau dann, wenn $X [mm] \in \mathcal L^1$.
[/mm]
D.h. wenn du das eine hast, hast du das andere gegeben....
Dann: du bist auf einem guten Weg, ziehe das doch einfach weiter durch:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}P(X>k)=\sum_{k=1}^{\infty}P(X\ge k)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=k}^{\infty}P(X=l) [/mm] $
Jetzt schau dir die rechte Seite mal genau an.
Nun überlegen wir mal, wie oft der Ausdruck P(X=j) für jedes [mm] $j\in\IN$ [/mm] vorkommt: Da die innere Summe [mm] $\sum_{l=k}^{\infty}P(X=l) [/mm] $ lautet, kann P(X=j) also überhaupt nur vorkommen, falls [mm] $k\le [/mm] j$.
Und für jedes [mm] k\le [/mm] j kommt der Ausdruck P(X=j) genau 1x vor.
Also gibt es genauso viele P(X=j) wie es natürliche Zahlen k gibt mit $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] j$. Ergo: j mal.
D.h. jeder Summand P(X=j) kommt genau j Mal vor und sonst gibt es keine weiteren Summanden. Da die Reihe absolut konvergiert können wir umordnen und erhalten:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}P(X>k)=\sum_{k=1}^{\infty}P(X\ge k)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=k}^{\infty}P(X=l) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty [/mm] k*P(X=k)$
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Mi 02.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hihoooo Gono. Vielen lieben Dank!!!!!! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
man kann das ganze auch iterativ hochziehen:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty [/mm] kP(X=k) = [mm] \summe_{k=1}^\infty [/mm] P(X=k) + [mm] \summe_{k=1}^\infty [/mm] (k-1)P(X=k) = [mm] P(X\ge [/mm] 1) + [mm] \summe_{k=2}^\infty [/mm] (k-1)P(X=k) = [mm] P(X\ge [/mm] 1) + [mm] \summe_{k=2}^\infty [/mm] P(X=k) + [mm] \summe_{k=2}^\infty [/mm] (k-2)P(X=k) = [mm] P(X\ge [/mm] 1) + [mm] P(X\ge [/mm] 2) + [mm] \summe_{k=3}^\infty [/mm] (k-2)P(X=k) = [mm] \ldots [/mm] $
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Sa 05.07.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen lieben Dank lieber Gono.
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