EW, EF und ONB von d^2/dx^2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 So 31.08.2014 | | Autor: | Samyy |
| Aufgabe | Sei [mm] $I:=[-\frac{c}{2},\frac{c}{2}]\subset\mathbb{R}$ [/mm] ein beschränktes intervall mit $c>0$. Betrachte den Differentialoperator
$$T [mm] :L^2(I)\supset D(T)\rightarrow L^2(I), f(x)\mapsto [/mm] -f''(x),$$
wobei $ [mm] D(T):=\lbrace f\in C^2(I) [/mm] : [mm] f(-\frac{c}{2})=0=f(\frac{c}{2}) \rbrace$. [/mm] Finde alle Eigenfunktionen [mm] $f\in [/mm] D(T)$ und Eigenwerte $ [mm] \lambda\in\mathbb{R}$ [/mm] und zeige, dass die Eigenfunktionen ein vollständiges Orthonormalsystem in [mm] $L^2(I)$ [/mm] bilden. |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabenstellung nicht weiter und bin mir auch nicht sicher, ob meine Ansätze ok sind. Zunächst einmal habe ich die Eigenwerte und Eigenfunktionen bestimmt und habe erhalten:
Eigenwerte: [mm] $\frac{\pi^2}{c^2}\cdot n^2 [/mm] $ mit [mm] $n\geq [/mm] 1$ eine natürliche Zahl.
normierten Eigenfunktionen: [mm] $f_n(x):= \sqrt{\frac{2}{c}}sin(\frac{\pi n}{c}x)$, [/mm] falls n gerade und
[mm] $f_n(x):= \sqrt{\frac{2}{c}}cos(\frac{\pi n}{c}x)$, [/mm] falls n ungerade.
Ist das soweit richtig?
Nun habe ich probleme zu zeigen, dass diese Funktionen dicht liegen in [mm] $L^2(I)$. [/mm]
Angenommen, eine Funktion [mm] $f\in L^2(I)$ [/mm] ist senkrecht zu allen obigen Eigenfunktionen. Warum muss diese dann die Nullfunktion sein? Hat jemand eine Idee für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 02.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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