EP alternative hinr. Bed. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.
Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
Achtung!
Wenn du Werte links und rechts von der möglichen Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut berechnen kannst. |
EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt? Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade untersuchten EP-Kandidaten?
Entsprechend meine Frage für die hinreichende Bedingung beim WP.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 23.02.2023 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> Vorzeichenwechsel untersuchen.
Nein, das muß ich überhaupt nicht. Ich bin ein freier Mensch!
> Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
Das kann ich allerdings machen.
> Achtung!
> Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> berechnen kannst.
Wenn ich sie wähle, brauche ich sie doch nicht mehr zu berechnen.
> EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von
> der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht
> oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass
> der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt?
> Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade
> untersuchten EP-Kandidaten?
> Entsprechend meine Frage für die hinreichende Bedingung
> beim WP.
Was hier Aufgabe heißt, soll vermutlich ein Rezept zur Aufgabenlösung sein. Als solches ist es aber mathematisch und sprachlich unzulänglich.
Das ist dir ja auch aufgefallen.
Gruß Dieter
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> Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> Vorzeichenwechsel untersuchen.
> Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
Die mgl. Extremstellen findest du als Nullstellen der 1. Ableitung.
> Achtung!
> Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> berechnen kannst.
> EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von
> der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht
> oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass
> der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt?
> Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade
> untersuchten EP-Kandidaten?
> Entsprechend meine Frage für die hinreichende Bedingung
> beim WP.
>
Die Antwort ist dann besonders einfach, wenn die 1. Ableitung ein Polynom und damit stetig ist.
1. Liste die Nullstellen auf. Zwischen diesen gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
2. Berechne daher für jedes Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Nullstellen einen Funktionswert und bestimme sein Vorzeichen. (Es reicht schon, nur das Vorzeichen des Fkt.-Wertes festzustellen!!!) Wo der Wert im Intervall liegt, spielt dabei keine Rolle. Das gilt auch für Wendepunkte.
3. Stelle fest, ob von Intervall zu Intervall ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.
Beispiel: f'(x) = [mm] (x+3)(2x+2)^2x(x-5)^3 [/mm] hat die Nullstellen -3,-1,0 und 5
Intervall [mm] [-\infty|-3] [/mm] Wähle z.B. x = -4 [mm] \Rightarrow [/mm] f(-4)= [mm] -1*(-6)^2*(-4)*(-9)^3 [/mm] ="-*+*-*-"="-"
Intervall [-3|-1] Wähle z.B. x = -2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(-2)= [mm] 1*(-2)^2*(-2)*(-7)^3 [/mm] ="+*+*-*-"="+"
Intervall [-1|0] Wähle z.B. x = -0,5 [mm] \Rightarrow [/mm] f(-0,5)= [mm] 2,5*(1)^2*(-0,5)*(-5,5)^3 [/mm] ="+*+*-*-"="+"
Intervall [0|5] Wähle z.B. x = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] f(1)= [mm] 4*(4)^2*(1)*(-4)^3 [/mm] ="+*+*+*-"="-"
Intervall [mm] [5|\infty] [/mm] Wähle z.B. x = 10 [mm] \Rightarrow [/mm] f(10)= [mm] 13*(22)^2*(10)*(5)^3 [/mm] ="+*+*+*+"="+"
Skizze: [mm] -\infty........-3..........-1..........0...........5.........\infty
[/mm]
- + + - +
Somit VZW bei -3 von - auf + (erst fallen, dann steigen) [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei -3
kein VZW bei -1 [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt bei -1
VZW bei 0 von + auf - (erst steigen, dann fallen [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt bei 0
VZW bei 5 von - auf + (erst fallen, dann steigen) [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei 5
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Hiho,
> Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> Vorzeichenwechsel untersuchen.
> Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
> Achtung!
> Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> berechnen kannst.
woher hast du das?
Das liefert vielleicht für einen ersten Eindruck, aber alles andere als mathematisch sinnvoll.
> EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von
> der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht
> oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass
> der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt?
> Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade
> untersuchten EP-Kandidaten?
Die Frage lässt sich nicht allgemein beantworten.
Für jede mögliche Antwort konstruiere ich dir ein Gegenbeispiel, wo das nicht passt…
Zu zeigen ist: Es gibt eine Umgebung um die Stelle, so dass die 1. Ableitung links der Stelle ausschließlich kleiner Null und rechts der Stelle ausschließlich größer Null ist.
Alles andere ist nicht zielführend…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Sa 25.02.2023 | | Autor: | chrisno |
Gono,
Du hast natürlich Recht. Es ist aber leider so, dasss so etwas unter dem Titel "Mathematik" in der Schule unterrichtet wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Sa 25.02.2023 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Du hast natürlich Recht. Es ist aber leider so, dasss so
> etwas unter dem Titel "Mathematik" in der Schule
> unterrichtet wird.
wobei ich hier klar unterscheiden würde zwischen Lehrmaterial und dem Lehrkörper.
Das Lehrmaterial ist tatsächlich öfter besser als sein Ruf und dort habe ich sowas noch nie gesehen.
Gegen inkompetente Lehrer hilft das natürlich nichts, wobei ich da auch hervorheben möchte, dass es durchaus auch sehr gute Lehrer gibt 
Und hier hat der Threadersteller tatsächlich bestätigt, dass das von einer privaten Webseite kommt… und das ist mal wieder ein gutes Beispiel, dass man nicht alles glauben soll, was im Internet steht ^^
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> > Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> > liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> > Vorzeichenwechsel untersuchen.
> > Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> > Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
> > Achtung!
> > Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> > Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> > liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> > berechnen kannst.
> woher hast du das?
> Das liefert vielleicht für einen ersten Eindruck, aber
> alles andere als mathematisch sinnvoll.
>
> > EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von
> > der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht
> > oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass
> > der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt?
> > Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade
> > untersuchten EP-Kandidaten?
> Die Frage lässt sich nicht allgemein beantworten.
> Für jede mögliche Antwort konstruiere ich dir ein
> Gegenbeispiel, wo das nicht passt…
>
Vielleicht hast du meinen Satz
"Die Antwort ist dann besonders einfach, wenn die 1. Ableitung ein Polynom und damit stetig ist"
überlesen.
Ich bin gespannt auf dein Polynom als Gegenbeispiel.
Unter "Genau so" habe ich selber eine Funktion als Gegenbeispiel konstruiert, aber kein Polynom...
> Zu zeigen ist: Es gibt eine Umgebung um die Stelle, so dass
> die 1. Ableitung links der Stelle ausschließlich kleiner
> Null und rechts der Stelle ausschließlich größer Null
> ist.
> Alles andere ist nicht zielführend…
>
> Gruß,
> Gono
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Sa 25.02.2023 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Vielleicht hast du meinen Satz
> "Die Antwort ist dann besonders einfach, wenn die 1.
> Ableitung ein Polynom und damit stetig ist"
> überlesen.
>
> Ich bin gespannt auf dein Polynom als Gegenbeispiel.
Na dann beantworte mal die Frage des Threaderstellers
> Wie weit dürfen die Werte von der möglichen Extremstelle entfernt liegen!
und dann konstruiere ich dir eines.
Auch für Polynome konstruiere ich dir beliebig viele Vorzeichenwechsel in jedem Intervall, welches du benennst…
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> > Vielleicht hast du meinen Satz
> > "Die Antwort ist dann besonders einfach, wenn die 1.
> > Ableitung ein Polynom und damit stetig ist"
> > überlesen.
> >
> > Ich bin gespannt auf dein Polynom als Gegenbeispiel.
>
> Na dann beantworte mal die Frage des Threaderstellers
> > Wie weit dürfen die Werte von der möglichen
> Extremstelle entfernt liegen!
>
> und dann konstruiere ich dir eines.
>
> Auch für Polynome konstruiere ich dir beliebig viele
> Vorzeichenwechsel in jedem Intervall, welches du
> benennst…
>
> Gruß,
> Gono
Hallo Gono,
dann nehmen wir mal das Polynom [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3 [/mm] - 4x mit f'(x) = [mm] x^2-4.
[/mm]
Die Ableitung hat die Nullstellen -2 und 2, und ich hätte nun gern einen Vorzeichenwechsel im Intervall [mm] ]-\infty|-2[ [/mm] oder ]-2|2[ oder [mm] ]2|\infty[ [/mm] für f'(x).
Gruß
Kw
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 26.02.2023 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> dann nehmen wir mal das Polynom
wir nehmen gar nix.
Der Fragesteller fragte nach einem Abstand um die kritische Stelle, die er für den Vorzeichenwechsel prüfen muss.
Ich warte noch immer auf den Abstand von der kritischen Stelle, die allgemein gültig ist… und dann wähle ich das Polynom.
Gruß,
Gono
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Natürlich ist ein allgemeingültiger Abstand unsinnig, da habe ich dich missverstanden.
Deshalb braucht man ja die Intervalle. Alles klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Sa 25.02.2023 | | Autor: | chrisno |
> Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> Vorzeichenwechsel untersuchen.
> Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
> Achtung!
> Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> berechnen kannst.
Da fehlt, was vorher schon passiert ist. Ich nehme an:
- Die Funktion ist überall in dem Intervall definiert und stetig differenzierbar.
(das gilt für die Polynomfunktionen)
- Mit dem Kriterium "erste Ableitung = 0" wurden alle Kandidaten für Extremwerte bestimmt.
> EP hinreichende Bedingung: Wie weit dürfen die Werte von
> der möglichen Extremstelle entfernt liegen! Recht dicht
> oder reicht es, wenn ich mehrere EP-Kandidaten habe, dass
> der Wert nicht jenseits eines anderen EP-Kandidaten liegt?
Die Argumentation läuft nun so:
- Alle Kandidaten für Extrema wurden bestimmt.
- Zwischen zwei dieser Kandidaten kann also kein weiteres Extremum liegen.
- Zwischen den Teststellen darf nur ein Kandidat für ein Extremum liegen.
- Ist die erste Ableitung der Funktion an der Teststelle steigend (fallend), so ändert sich dieses Verhalten im Intervall bis einschließlich der möglchen Extremstelle nicht. Sonst gäbe es in diesem Intervall noch eine Stelle mit f'(x) = 0, wegen der an die Funktion gestellten Bedingungen.
> Und sonst kann er beliebig weit weg liegen vom gerade
> untersuchten EP-Kandidaten?
Solange nicht ein EP Kandidat dazwischen zu liegen kommt.
> Entsprechend meine Frage für die hinreichende Bedingung
> beim WP.
>
Die Argumentation läuft genau gleich. (Die Funktion muss natürlich zweimal stetig differenzierbar sein.)
Wenn man eh schon die erste Ableitung hat, kommt es in der Schule oft vor, dass diese auch "einfacher" zu berechnen ist, als die Funktion selbst. Ansonsten kann man auch einfach zwei Funktionswerte links und rechts der Kandidatenstelle berechnen.
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Vergessen wurde meine Einschränkung:
"Die Antwort ist dann besonders einfach, wenn die 1. Ableitung ein Polynom und damit stetig ist."
> > Um zu überprüfen, ob an einer Stelle ein Extrempunkt
> > liegt, musst du die 1. Ableitung auf einen
> > Vorzeichenwechsel untersuchen.
> > Dazu setzt du Werte links und rechts von der möglichen
> > Extremstelle in die 1. Ableitung ein.
> > Achtung!
> > Wenn du Werte links und rechts von der möglichen
> > Extremstelle einsetzt, sollten sie nicht zu weit weg
> > liegen. Wähle also möglichst kleine Werte, die du gut
> > berechnen kannst.
>
> Da fehlt, was vorher schon passiert ist. Ich nehme an:
> - Die Funktion ist überall in dem Intervall definiert und
> stetig differenzierbar.
> (das gilt für die Polynomfunktionen)
> - Mit dem Kriterium "erste Ableitung = 0" wurden alle
> Kandidaten für Extremwerte bestimmt.
>
Genau so! Ich habe einleitend geschrieben, dass ich mich auf POLYNOME beziehe. Und da reicht das!
Und nein, es ist nicht so, dass man sich in der Schule nur auf solche Fälle bezieht. Im Grundkurs ist man schon froh, wenn die Schüler überhaupt noch einen Fehler in Prozenten ausrechnen können. Seit Einführung des Zentralabiturs reicht es für eine 4 im Abi schon aus, wenn man z.B. aus einem Graphen ablesen kann, wo ein Hoch-, Tief- oder Wendepunkt liegt und was er im Sachzusmmenhang wohl bedeuten kann. Seitdem die Parole "alle müssen mitkommen" das Bildungssystem angefressen hat, ist Anspruchsdenken nicht mehr gefragt.
Im Leistungskurs habe ich zur Erläuterung, warum z.B. "f'(x)=0 [mm] \wedge [/mm] f'hat dort einen Vorzeichenwechsel" kein notwendiges, sondern nur ein hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt ist, die Funktion [mm] f(x)=x^2(11+10sin(1/x)) [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0 und f(0)=0 besprochen (positiv für [mm] x\ne [/mm] 0, überall diffbar, f'(0)=0, Tiefpunkt in (0|0), Ableitung f'(x)=x(20sin(1/x)+22)-10cos(1/x) für [mm] x\ne [/mm] 0 hat in jeder Umgebung von x=0 links und rechts wechselnde Vorzeichen).
Darauf kann man aber das von mir genannte Verfahren gar nicht anwenden, da die "nächste" Nullstelle von x=0 gar nicht existiert.
An meinen Ausführungen ist somit gar nichts falsch. Sie gelten für alle stetig diffbaren Funktionen, bei der man bei f' die jeweils nächste Nullstelle links und rechts von der betrachteten Nulstelle angeben kann.
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