E1 orthogonal zu E2 so richtig < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 30.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmals ich weiß es ist nervig aber ich schreibe in 2 Tagen eine für mich relevante Matheklausur deswegen wollte ich nochmal fragen ob man die Aufgabe folgendermaßen machen kann:
Gegeben sind zwei Punkte aus denen ich eine Ebenengleichung erstellen soll und eine andere Ebene ist gegeben und die eine soll orthogonal zur anderen sein:
A(2/-1/7); B(0/3/9)
E: 2x+2y+z=7
Schritt 1:
Da die Ebene die ich erstellen soll sowieso zur gegebenen Ebene orthogonal sein muss, dachte ich mir dass ich den Normalenvektor zur Ebene ausrechne:
Der lautet:
[mm] \vec{n}=\vektor{0 \\-1\\ 2}
[/mm]
Punkt A habe ich als Stützvektor benutzt und damit als [mm] \vec{p}
[/mm]
[mm] \vec{p}=\vektor{2 \\-1\\ 7}
[/mm]
Meine Ebenengleichung sieht dann folgendermaßn aus:
[mm] [\vec{x}-\vektor{2 \\-1\\ 7}]*\vektor{0 \\-1\\ 2}=0
[/mm]
in Koordinatenform:
0x-1y+2z=15
wenn ich jetzt Punkt B in die Gleichung einsetze kommt auch 15 raus, ist so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Fatih!
Kannst Du vielleicht die vollständige Aufgabenstellung posten? Irgendwie kann ich da nicht ganz folgen.
Zudem irritiert mich der Satz mit den 2 Punkten. Denn im [mm] $\IR^3$ [/mm] wird eine Ebene erst eindeutig durch 3 Punkte festgelegt.
Gruß vom
Roadrunner
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Mir scheinen da alle Angaben vorzuliegen. Die gesuchte Ebene soll die beiden gegebenen Punkte beinhalten und die gegebene Ebene senkrecht schneiden.
> Gegeben sind zwei Punkte aus denen ich eine Ebenengleichung
> erstellen soll und eine andere Ebene ist gegeben und die
> eine soll orthogonal zur anderen sein:
>
> A(2/-1/7); B(0/3/9)
>
> E: 2x+2y+z=7
>
> Schritt 1:
>
> Da die Ebene die ich erstellen soll sowieso zur gegebenen
> Ebene orthogonal sein muss, dachte ich mir dass ich den
> Normalenvektor zur Ebene ausrechne:
>
> Der lautet:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\-1\\ 2}[/mm]
Wie bist Du denn auf diesen Vektor gekommen? Ich gehe den Rechenweg einmal entlang.
Die gegebene Ebene E hat den Normalenvektor [mm] \vec{n_E}=\vektor{2 \\2\\ 1}, [/mm] wie aus der Koordinatenform direkt abzulesen ist. Er könnte noch normiert werden, muss es aber für diese Aufgabe nicht.
Ich nenne die gesuchte Ebene D.
Ihr Normalenvektor [mm] \vec{n_D} [/mm] muss senkrecht zum Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] sowie zum Vektor [mm] \vec{n_E} [/mm] stehen. Das ist über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) leicht zu ermitteln:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\vektor{0 \\ 3\\9}-\vektor{2 \\ -1\\7}=\vektor{-2 \\ 4\\2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}\times\vec{n_D}=\vektor{-2\\4\\2}\times\vektor{2\\2\\1}=\vektor{0\\ 6\\ -12}
[/mm]
Aha. Daher stammt also Dein Vektor, der ja zu meinem Ergebnis kollinear ist. Wahrscheinlich hast Du [mm] \vec{n_D} [/mm] normiert und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] halbiert, und letzteren entweder in entgegengesetzter Richtung genommen oder die Reihenfolge des Kreuzprodukts vertauscht, was alles erlaubt ist und am Sinn des Ergebnisses nichts ändert.
> Punkt A habe ich als Stützvektor benutzt und damit als
> [mm]\vec{p}[/mm]
>
> [mm]\vec{p}=\vektor{2 \\-1\\ 7}[/mm]
>
> Meine Ebenengleichung sieht dann folgendermaßn aus:
>
> [mm][\vec{x}-\vektor{2 \\-1\\ 7}]*\vektor{0 \\-1\\ 2}=0[/mm]
Richtig.
> in Koordinatenform:
>
> 0x-1y+2z=15
Auch richtig.
> wenn ich jetzt Punkt B in die Gleichung einsetze kommt auch
> 15 raus, ist so richtig?
Ja, das ist die Probe. Und sie geht auf. Alles richtig!
Trotzdem würde es zur Kontrolle erheblich helfen, wenn Du kurz Deinen Rechenweg skizzierst und nicht nur das Ergebnis einstellst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo reverend!
... ist klar im Vorteil! Und auch Kopfeinschalten zum Denken soll auch niht schaden!
Da hast Du natürlich Recht ... ich hatte nur die Hälfte gelesen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Alles klar, also ich bin folgendermaßen vorgegeangen:
Ich habe den den Normalenvektor ausgelesen, wie du, nur habe ich diesen anders geschrieben:
2x+2y+z=0
Dann habe ich Zahlen gesucht damit die Gleichung erüllt ist und diese waren 0,-1,2 und das müsste der Normalenvektor der anderen Gerade sein.
Nur kann ich ja nicht darauf spekulieren, dass Punkt B auch immer in dieser Ebene liegt, deswegen werde ich deinen Rechenweg bevorzugen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 01.12.2008 | | Autor: | reverend |
Oh, dann hast Du riesiges Glück gehabt. Es hätte viele andere Vektoren gegeben, die die Ebenengleichung erfüllen und alle in die falsche Richtung gegangen wären. Allerdings ist der "B-Test" dann wieder eindeutig, so dass Dein Ergebnis dann auch haltbar wurde: der Normalenvektor der gesuchten Ebene D muss sowohl ein Richtungsvektor in der gegebenen Ebene E sein, als auch auf [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] senkrecht stehen.
Überleg Dir mal, was das dann für A und B heißt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
krezprodukt hatten wir bis jetzt auch nicht gemacht, wie kann man das denn alternativ machen
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Geht auch, ist aber mühsamer.
Zwei Vektoren [mm] \vec{a},\vec{c} [/mm] mit [mm] |\vec{a}|*|\vec{c}|\not=0 [/mm] stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn [mm] \vec{a}*\vec{c}=0 [/mm] (Skalarprodukt).
Mit dieser Regel kannst du nun die Bedingung, dass der "neue", gesuchte Vektor [mm] \vec{c} [/mm] senkrecht auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] stehen muss, in ein lineares Gleichungssystem überführen. Es wird einfach unterbestimmt sein, die Lösung also einen Parameter enthalten (klar: die Länge des gesuchten Vektors wird ja durch nichts definiert).
Wenn [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] kollinear sind, ist das Gleichungssystem sogar doppelt unterbestimmt.
In allen anderen Fällen bekommst Du aber in jedem Fall ein Vielfaches des Kreuzproduktes heraus, auch wenn Ihr das noch gar nicht hattet.
Klar? Oder brauchst Du ein Beispiel? Versuch mal erst selbst, eins aus der Aufgabe zu nehmen und zu sehen, ob Du auch so zu einer Lösung kommst.
Grüße,
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Also ich versuch es mal mit dem Skalarprodukt:
Der gesuchte Vektor muss orhogonal zur Normalen der Ebene und dem Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] sein:
-2x1+4x2+2x3=0
2x1+2x2+1x3=0
Dann hatte ich für x1=0, x2=-3, x3=6 raus
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> Also ich versuch es mal mit dem Skalarprodukt:
>
> Der gesuchte Vektor muss orthogonal zur Normalen der Ebene
> und dem Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] sein:
>
> [mm] -2x_1+4x_2+2x_3=0
[/mm]
> [mm] 2x_1+2x_2+1x_3=0
[/mm]
Diese beiden Gleichungen sind nicht linear abhängig! Wie schön...
> Dann hatte ich für [mm] x_1=0, x_2=-3, x_3=6 [/mm] raus
...außer Du wählst [mm] x_1=0. [/mm] Oder hast Du anders angefangen?
Lösung: beide Gleichungen addieren (das ist ja noch Gauß-Algorithmus hier)
[mm] \Rightarrow 6x_2+3x_3=0
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] als Parameter wählen: [mm] x_2=\lambda \Rightarrow x_3=-2\lambda \Rightarrow x_1=0
[/mm]
Wenn Du es so herum angehst, ist Dein Ergebnis haltbar.
Jedenfalls hast Du begriffen, wie Du die Aufgabe ohne Kreuzprodukt lösen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
also ich habs einfach nach dem LGS versucht, also die 1 Gleichung mit der 2. addiert, dann hatte ich in der 2. Gleichung die 2x1 weg. Dann hatte ich die Gleichung 6x2+3x2=0 und damit die Gleichung erfüllt ist muss x2=-3 und X3=6 sein. wenn ich diese Werte wieder in die 1.Gleichung einsetze bekomme ich 0 heraus. Ist das denn schlimm wenn die beiden gleichung nicht linear abhängig sind?
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Im Gegenteil. Sie sollten sogar linear unabhängig sein! Sonst kannst Du nämlich kein sinnvolles Ergebnis mehr bestimmen.
Hast Du schon Al-Chwarizmis Beitrag gelesen? Eine gute Alternative.
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> krezprodukt hatten wir bis jetzt auch nicht gemacht, wie
> kann man das denn alternativ machen
Stelle für die Normalebene N zuerst eine Parameter-
gleichung auf:
Stützpunkt A
1.Spannvektor [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
2.Spannvektor = Normalenvektor der gegebebnen Ebene E
Dann eliminierst du die Parameter und kommst zu
einer Koordinatengleichung für N.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Dann hätte ich noch eine Frage bezüglich zwei Geraden:
Ist das so, dass wenn eine Gerade zur anderen orthogonal ist, dass die Richtungsvektoren vielfache voneinander sein müssen?
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Hallo Fatih!
Nein, dann müssen auch die beiden Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 01.12.2008 | | Autor: | reverend |
...ist das gleiche.
Die beiden Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist - vorausgesetzt, keiner der beiden Vektoren ist der Nullvektor, natürlich. Mit dem läßt sich aber auch keine Gerade definieren.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:21 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Ich habe da noch eine textaufgabe gefunden im Buch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Folgendes kann ich dazu sagen :
Bei der Geradengleichung zum Luftauslas kann ich den Punkt R als Stützvektor nehmen. Der Richtungsvektor schneidet sich mit der orangenen Fläche und ist orthogonal zur Fläche zwischen X1 und X2.
Nur habe ich Probleme die Ebenengleichung aufzustellen, weil der eine Punkt unten ist.^^
Danke schonmal im voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also so wie ich das sehe, müsste sind immer zwei Ecken des Daches auf einer höhe, sodass die Höhe von dem gesuchten Punkt auch z=6 sein müsste.
Damit solltest du eigentlich die Ebenengleichung aufstellen und die Aufgaben lösen können.
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