E-Wert/ diskrete W.keiten < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:28 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Estha |
Guten Aben alle zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich gehe hier gerade einen weiteren Beweis durch und mein Verständnis scheitert leider wieder bei Umformungen, die wahrscheinlioch ziemlich simpel sind :-( ...
Das Theorem zum Beweis ist das folgende:
Sei [mm] n\in \IN [/mm], so das genau k Nullhypothesen wahr und n - k Nullhypothesen falsch sind. Es jiegt das lineare "step up" - Verfahren BH vor. Sind die p-Werte gleichverteilt unter den entsprechenden Nullhypothesen, so gilt:
[mm] FDR ( \phi ) = \bruch{k}{n} \alpha [/mm].
Beweis :
Sei [mm] J_n := \{1, ... , n - k\} [/mm] die INdexmenge der falschen Nullhypothesen und [mm] I_n := \{n - k + 1, ... , n \} [/mm] die der wahren NUllhypothesen. Weiterhin sei [mm] V_n [/mm] die Anzahl der irrtümlich abgelehnten Nullhypothesen und sei [mm] S_n [/mm] die Anzahl der angelehnten Nullhypothesen, die tatsächlich falsch sind.
[mm] Q_n := \bruch{ V_n }{ V_n + S_n } [/mm]
Dann gilt:
[mm] FDR ( \phi ) = E ( Q_n ) = E ( \bruch{ V_n }{ V_n + S_n } ) [/mm]
(*) [mm] = \summe_{v=1}^{k} \summe_{s=0}^{n-k} \bruch{v}{v+s} P ( V_n = v, S_n = s \ | \ I_n , J_n , ( \alpha_1, ..., \alpha_n) ) [/mm]
Wie ist die Gleichheit (*) begründet? Ist das etwas einfach nur der Erwartungswert in diskreten Fall , wobei alle möglichen Realisierungen aufsummiert werden, die angenommen werden können mit den Wahrscheinlichkeiten, die dazu gehören ?
Es gibt insgesamt [mm] \dbinom k v [/mm] Möglichkeiten die v richtigen Nullhpothesen, die verworfen werden, aus den k rightigen NUllhypothesen zu ziehen.
Insgesamt werden v + s Nullhypothesen abgelehnt.
Nach dem Verfahren von BH folgt für die p-Werte, dass
[mm] p_{(1)} \le ... \le p_{(v)} \le .. \le p_{(v+s)} \le \alpha_{v+s} [/mm]
Die folgende Argumentation, die zu den Gleichung (++) führt & die Gleichung (++) selbst verstehe ich leider nicht vollkommen....
Da die [mm] p_i [/mm] 's unabhängig sind und [mm] \{ p_{n-k+1}, ... , p_n \} \supseteq \{ p_{(1)} \le p_{(v)} \} [/mm] gleichverteilt auf (0,1) sund, lässt sich die W.keit genau die v Nullhypothesen abzulehnen, die wahr sind, so bestimmen:
(++) [mm] P ( p_{(1)} , ... , p_{(v)} \le \alpha_{v+s} ) [/mm]
[mm] = P ( p_{(1)} \le \alpha_{v+s}, .... , p_{(v)} \le \alpha_{v+s} ) [/mm]
[mm] = P ( p_{(1)} \le \alpha_{v+s}) ... P ( p_{(v)} \le \alpha_{v+s}) [/mm]
[mm] = P ( p_{(1)} \le \alpha_{v+s} ) ^v [/mm]
[mm] = \alpha_{v+s}^v [/mm]
[blue]
1.
Was bedeutet dieses [mm] \{ p_{n-k+1}, ... , p_n \} \supseteq \{ p_{(1)} \le p_{(v)} \} [/mm] genau? Wie es denn die Menge [mm] \{ p_{(1)} \le p_{(v)} \} [/mm] , die in der Menge der p-Werte, die zu den wahren NUllhypothesen gehören liegt , zu verstehen ?
2. Was helfen uns diese Mengen bei der Aufstellung von (++) ?
3.Dass wir die W.keiten als Produkt schreiben können , gilt ja wegen der unabhängigkeit, aber ist der Grund der Gleichverteilung, dass wir uns das nur noch [mm] P ( p_{(1)} \le \alpha_{v+s} ) ^v [/mm] reduzieren können?
4. Warum ist das Ergenbis [mm] \alpha_{v+s}^v [/mm] ?
[mm] [\blue]
[/mm]
( Der Rest des Beweises habe ich jetzt nicht mehr aufgeschrieben, da ich schon bis jetzt diese Unklarheiten hatte und ich denke, dass ich erst diese nachvollziehen muss ) ...
Auf Wunsch werde ich natürlich auch den Rest posten!
So, ich hab bis hierhin den Beweis versucht zu verstehen, und hoffe, dass mir jemand bei diesen Unklarheiten helfen kann, damit ich die Chance hab den kompletten Beweis nachzuvollziehen
Vielen Dank schonmal!!!
Beste Grüße
Estha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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