E-Funktion (die 2te) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 04.12.2006 | | Autor: | scrax |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar
[mm] f_k:x= (k-e^x)^2 [/mm] [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] k\in\IR^+.
[/mm]
Ihr Graph heißt [mm] G_k.
[/mm]
a) Zeigen Sie, das [mm] G_k [/mm] die x-Achse genau einmal berührt.
Geben Sie Art und Lage dieses Extremums an.
b)Ermitteln Sie die Koordinaten de Wendepunktes [mm] W_k [/mm] des Graphen [mm] G_k.
[/mm]
Die Menge der Wendepunkte [mm] W_k [/mm] bildet eine Kurve. Berechnen Sie die Kurvengleichung von K.
c)Zeigen Sie dass der horizontale Abstand zwischen Wendepunkt [mm] W_k [/mm] und Extrempunkt [mm] T_k [/mm] für jedes k der gleiche ist.
d)Wie verhält sich [mm] f_k(x), [/mm] wenn x gegen die Grenzen des Definitionsbereiches strebt?
Wie lautet die Gleichung der Asymptote des Graphen [mm] G_k? [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
auch hier weiß ich gar nicht wie ich beginnen soll. Bei Aufgabe a hätte ich erstmal die Nullstellen berechnet, aber Art und Lage des EXTREMUMS weist eindeutig auf ein HP oder TP, ist das nur komisch formuliert?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mo 04.12.2006 | | Autor: | hopsie |
> Gegeben ist die Funktionenschar
>
> [mm]f_k:x= (k-e^x)^2[/mm] [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]k\in\IR^+.[/mm]
>
> Ihr Graph heißt [mm]G_k.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, das [mm]G_k[/mm] die x-Achse genau einmal berührt.
> Geben Sie Art und Lage dieses Extremums an.
> b)Ermitteln Sie die Koordinaten de Wendepunktes [mm]W_k[/mm] des
> Graphen [mm]G_k.[/mm]
> Die Menge der Wendepunkte [mm]W_k[/mm] bildet eine Kurve. Berechnen
> Sie die Kurvengleichung von K.
> c)Zeigen Sie dass der horizontale Abstand zwischen
> Wendepunkt [mm]W_k[/mm] und Extrempunkt [mm]T_k[/mm] für jedes k der gleiche
> ist.
> d)Wie verhält sich [mm]f_k(x),[/mm] wenn x gegen die Grenzen des
> Definitionsbereiches strebt?
> Wie lautet die Gleichung der Asymptote des Graphen [mm]G_k?[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> auch hier weiß ich gar nicht wie ich beginnen soll. Bei
> Aufgabe a hätte ich erstmal die Nullstellen berechnet, aber
> Art und Lage des EXTREMUMS weist eindeutig auf ein HP oder
> TP, ist das nur komisch formuliert?
Hallo!
Durch die Aufgabenstellung bekommst du (netterweise) schon Tips: Die Funktion berührt die x-Achse, d.h. dort ist eine Nullstelle und zugleich ein Extremum, das du berechnen sollst.
Gruß, hopsie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 04.12.2006 | | Autor: | scrax |
hey und danke für die rasche Antwort.
ist die 1te Ableitung richtig?:
f'_k(x)= [mm] 2(k-e^x)*-e^x*1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 04.12.2006 | | Autor: | hopsie |
Jep, das stimmt. 
|
|
|
| |
|
Hallo scrax,
> Gegeben ist die Funktionenschar
>
> [mm]f_k:x= (k-e^x)^2[/mm] [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]k\in\IR^+.[/mm]
>
> Ihr Graph heißt [mm]G_k.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, das [mm]G_k[/mm] die x-Achse genau einmal berührt.
> Geben Sie Art und Lage dieses Extremums an.
Dieser Fragstellung entnimmt man, dass diese Nullstelle eine sog. "doppelte" Nullstelle ist, was man schon am Quadrat erkennen kann:
Nullstellen: f(x)=0 [mm] \gdw (k-e^x)=0 [/mm] und dieser Faktor kommt doppelt vor.
Extremstelle: leite die Funktion mal ab und erkenne, dass wieder der Faktor [mm] (k-e^x) [/mm] vorkommt.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 04.12.2006 | | Autor: | scrax |
oh, man, ich kann die 2te Ableitung hier nicht!
ich weiß nicht wie ich u ableiten soll; ist das richtig?
[mm] u=2(k-e^x)
[/mm]
[mm] u'=-e^x
[/mm]
[mm] v=-e^x
[/mm]
[mm] v'=-e^x
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo scrax,
[mm] f_k(x)=(k-e^x)^2
[/mm]
$f'_k(x)= [mm] 2(k-e^x)*(-e^x) [/mm] $
> oh, man, ich kann die 2te Ableitung hier nicht!
> ich weiß nicht wie ich u ableiten soll; ist das richtig?
>
> [mm]u=2(k-e^x)[/mm]
> [mm]u'=-e^x[/mm]
> [mm]v=-e^x[/mm]
> [mm]v'=-e^x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn dir das mit der Produktregel zu unübersichtlich ist, multipliziere einfach aus:
[mm] f'_k(x)=-2(ke^x+e^{2x})
[/mm]
Der Vorfaktor bleibt einfach stehen: [mm] f''_k(x)=-2(ke^x+2e^{2x})
[/mm]
Gruß informix
|
|
|
|
